15- (2-98,pe) Considere a EDO y′ = (y2 − x2) sen(xy) + 1. a) Quantas soluções y = f(x) desta equação são tais que f(0) = 0? Justifique. b) Det...

a) Para que f(0) = 0, temos que y(0) = 0. Podemos usar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf para verificar que existe apenas uma solução única que passa por (0,0). Portanto, há apenas uma solução y = f(x) que satisfaz f(0) = 0. b) Podemos usar o Teorema de Rolle para verificar se existe uma solução y = f(x) que satisfaça f(-1) = f(1) = 0. Se tal solução existir, então deve haver um ponto c no intervalo (-1,1) onde f'(c) = 0. No entanto, podemos verificar que f'(x) = (y^2 - x^2)cos(xy), que nunca é igual a zero para x em (-1,1) e y ≠ 0. Portanto, não é possível existir uma solução y = f(x) que satisfaça f(-1) = f(1) = 0.