03 - Sejam S1: {x + y + z = 4, 3x + 2y + z = 6, 2x + y - z = 1} e S2: {2x + y - z = 1, 3x + 2y + z = 6, x + y + z = 4}. É correto afirmar que estes...

Para verificar se os sistemas S1 e S2 são equivalentes, precisamos verificar se eles possuem a mesma solução. Podemos resolver ambos os sistemas utilizando a notação matricial: S1: | 1 1 1 | | x | | 4 | | 3 2 1 | x | y | = | 6 | | 2 1 -1 | | z | | 1 | S2: | 2 1 -1 | | x | | 1 | | 3 2 1 | x | y | = | 6 | | 1 1 1 | | z | | 4 | Podemos escrever ambos os sistemas na forma Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor das incógnitas e b é o vetor dos termos independentes. Para verificar se os sistemas são equivalentes, precisamos verificar se as matrizes A e b são iguais em ambos os sistemas. Podemos ver que as matrizes A são iguais em ambos os sistemas, mas os vetores b são diferentes. Portanto, os sistemas S1 e S2 não são equivalentes. Para resolver os sistemas, podemos utilizar o método da eliminação de Gauss-Jordan: S1: | 1 1 1 | | x | | 4 | | 3 2 1 | x | y | = | 6 | | 2 1 -1 | | z | | 1 | 1) Subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda linha: | 1 1 1 | | x | | 4 | | 0 -1 -2 | x | y | = |-6 | | 2 1 -1 | | z | | 1 | 2) Subtrair 2 vezes a primeira linha da terceira linha: | 1 1 1 | | x | | 4 | | 0 -1 -2 | x | y | = |-6 | | 0 -1 -3 | | z | |-7 | 3) Multiplicar a segunda linha por -1: | 1 1 1 | | x | | 4 | | 0 1 2 | x | y | = | 6 | | 0 -1 -3 | | z | |-7 | 4) Somar a segunda linha com a terceira linha: | 1 1 1 | | x | | 4 | | 0 1 2 | x | y | = | 6 | | 0 0 -1 | | z | |-1 | 5) Multiplicar a terceira linha por -1: | 1 1 1 | | x | | 4 | | 0 1 2 | x | y | = | 6 | | 0 0 1 | | z | | 1 | 6) Subtrair a terceira linha da segunda linha: | 1 1 1 | | x | | 4 | | 0 1 0 | x | y | = | 4 | | 0 0 1 | | z | | 1 | 7) Subtrair a terceira linha da primeira linha: | 1 1 0 | | x | | 3 | | 0 1 0 | x | y | = | 4 | | 0 0 1 | | z | | 1 | 8) Subtrair a segunda linha da primeira linha: | 1 0 0 | | x | |-1 | | 0 1 0 | x | y | = | 4 | | 0 0 1 | | z | | 1 | Portanto, a solução do sistema S1 é x = -1, y = 4 e z = 1. S2: | 2 1 -1 | | x | | 1 | | 3 2 1 | x | y | = | 6 | | 1 1 1 | | z | | 4 | 1) Subtrair 1 vez a primeira linha da segunda linha: | 2 1 -1 | | x | | 1 | | 1 1 2 | x | y | = | 5 | | 1 1 1 | | z | | 4 | 2) Subtrair 1 vez a primeira linha da terceira linha: | 2 1 -1 | | x | | 1 | | 1 1 2 | x | y | = | 5 | | -1 0 2 | | z | | 3 | 3) Subtrair 1 vez a segunda linha da terceira linha: | 2 1 -1 | | x | | 1 | | 1 1 2 | x | y | = | 5 | | -2 -1 0 | | z | |-2 | 4) Multiplicar a primeira linha por -1/2: |-1 -1/2 1/2 | | x | |-1/2 | | 1 1 2 | x | y | = | 5 | |-1/2 -1/2 -1/2| | z | |-2/2 | 5) Somar a primeira linha com a segunda linha: |-1 -1/2 1/2 | | x | |-1/2 | | 0 1/2 5/2 | x | y | = | 9/2 | |-1/2 -1/2 -1/2| | z | |-2/2 | 6) Somar a primeira linha com a terceira linha: |-1 -1/2 1/2 | | x | |-1/2 | | 0 1/2 5/2 | x | y | = | 9/2 | | 0 -1 0 | | z | |-3/2| 7) Multiplicar a segunda linha por 2: |-1 -1/2 1/2 | | x | |-1/2 | | 0 1 5 | x | y | = | 9 | | 0 -1 0 | | z | |-3/2| 8) Somar a segunda linha com a terceira linha: |-1 -1/2 1/2 | | x | |-1/2 | | 0 0 5 | x | y | = | 15/2| | 0 -1 0 | | z | |-3/2| 9) Multiplicar a terceira linha por -1: |-1 -1/2 1/2 | | x | |-1/2 | | 0 0 5 | x | y | = | 15/2| | 0 1 0 | | z | | 3/2| 10) Dividir a segunda linha por 5: |-1 -1/2 1/2 | | x | |-1/2 | | 0 0 1 | x | y | = | 3 | | 0 1 0 | | z | | 3/2| 11) Somar a terceira linha com a segunda linha: |-1 -1/2 1/2 | | x | |-1/2 | | 0 0 1 | x | y | = | 3 | | 0 1 1 | | z | | 3/2| 12) Somar a primeira linha com a segunda linha: |-1 -1/2 0 | | x | | 5/2 | | 0 0 1 | x | y | = | 3 | | 0 1 1 | | z | | 3/2 | Portanto, a solução do sistema S2 é x = 5/2, y = 3 e z = 3/2. Concluímos que os sistemas S1 e S2 não são equivalentes e suas soluções são diferentes.