Questão resolvida - Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão_ S(x,y,z) R_ x - y z 0 - Álgebra Linear

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Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão: 
S = x, y, z ∈ R : x - y + z = 0( ) 3
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos isolar o na lei de formação do espaço ;z S
 
 x - y + z = 0 z = y - x→
 
Com isso, um vetor no espaço vetorial pode ser dado por;S
 
x, y, z = x, y, y - x( ) ( )
 
Usando propriedades vetoriais, podemos reescrever o resultado de 1 como;
 
x, y, y - x = x, 0, -x + 0, y, y( ) ( ) ( )
 
Colocando e em evidência no resultado do segundo membro de 2, temos que;y x
 
x, 0, -x + 0, y, y = x 1, 0, -1 + y 0, 1, 1( ) ( ) ( ) ( )
 
Veja que no segundo membro formamos 2 vetores:
 
1, 0, -1 e 0, 1, 1( ) ( )
 
Esses vetores são linearmente independentes (L.I.), já que não há escalar que faça um 𝜆
dos vetores ser escrito como combinação linear do outro;
 
𝜆 1, 0, -1 = 0, 1, 1 1𝜆, 0𝜆, -𝜆 = 0, 1, 1( ) ( ) → ( ) ( )
 
 
(1)
(2)
Então, temos o seguinte sistema;
 
1𝜆 = 0
0𝜆 = 1
-𝜆 = 1
 
Veja que na segunda equação do sistema a igualdade não existe, já que não existe 𝜆 ∈ R
que satisfaça tal condição, assim, comprovamos que o conjunto formado pelos 2 vetores é 
L.I., com isso, esses vetores podem formar uma base para o espaço vetorial ;S
 
B = 1, 0, -1 , 0, 1, 1 de dimensão 2S {( ) ( )}
 
 
(3)
(Resposta)