(14) Dados os pontos A(1, 2,−3), B(4,−3,−1) Descreva o lugar geométrico dos pon- tos, Q(x, y, z), no espaço tal que distância d(Q,A) seja igual ...

O lugar geométrico dos pontos Q(x, y, z) no espaço tal que a distância d(Q,A) seja igual à distância d(Q,B) é a mediatriz do segmento AB. Para encontrar a equação que caracteriza esse objeto, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o ponto médio M do segmento AB, que é dado por M = ((1+4)/2, (2-3)/2, (-3-1)/2) = (2.5, -0.5, -2). 2. Encontrar o vetor diretor do segmento AB, que é dado por AB = B - A = (4-1, -3-2, -1-(-3)) = (3, -5, 2). 3. Encontrar um vetor perpendicular a AB, que pode ser dado por um vetor ortogonal a AB, como por exemplo o vetor (5, 3, 1). 4. Escrever a equação vetorial da reta que passa por M e tem direção perpendicular a AB, que é dada por: r: (x, y, z) = (2.5, -0.5, -2) + t(5, 3, 1). 5. Escrever a equação paramétrica da reta r, que é dada por: x = 2.5 + 5t, y = -0.5 + 3t, z = -2 + t. 6. Escrever a equação da esfera de centro A e raio AB, que é dada por: (x-1)² + (y-2)² + (z+3)² = 3² + (-5)² + 2² = 38. 7. Escrever a equação da esfera de centro B e raio AB, que é dada por: (x-4)² + (y+3)² + (z+1)² = 3² + (-5)² + 2² = 38. 8. A equação que caracteriza o objeto é a interseção entre as duas esferas e a reta r, que pode ser encontrada substituindo as equações da reta nas equações das esferas.