Uma empresa monopolista tem a seguinte função de custos de curto prazo: C(Q,K) = 0,5 x (Q2 + K2) + bQ + Q3 x. O fator capital (K) é fixo no curto p...

a) Para encontrar a função de custo de longo prazo, é necessário primeiro encontrar a função de custo médio de longo prazo (CMeL). Para isso, é preciso encontrar o ponto em que a empresa maximiza seus lucros. A função de lucro é dada por L(Q) = P(Q) x Q - C(Q), onde P(Q) = 225 - Q é a função de demanda. Derivando a função de lucro em relação a Q, temos: L'(Q) = 225 - 2Q - b - 3Q²x Igualando a derivada a zero, temos: 225 - 2Q - b - 3Q²x = 0 Resolvendo para Q, temos: Q = (225 - b) / 6x Substituindo Q na função de demanda, temos: P = 225/2 - b/2 - (225 - b)³/216x Agora, podemos encontrar a função de custo médio de longo prazo (CMeL) substituindo P(Q) na função de custo de curto prazo: CMeL = C(Q,K) / Q CMeL = (0,5 x (Q² + K²) + bQ + Q³x) / Q CMeL = 0,5Q + K² / 2Q + b + Q²x Substituindo Q na função de demanda, temos: CMeL = 0,5(225 - P) + K² / 2(225 - P) + b + (225 - P)²x Simplificando, temos: CMeL = (112,5 - 0,5P + K² / 450 - 2xP + 0,25P² + b) / (112,5 - 0,5P) A função de custo de longo prazo é dada pela integral da função de custo médio de longo prazo em relação a Q: CLeL = ∫ CMeL dQ CLeL = ∫ (112,5 - 0,5P + K² / 450 - 2xP + 0,25P² + b) / (112,5 - 0,5P) dQ CLeL = (112,5 - 0,5P + K² / 450 - 2xP + 0,25P² + b) ln(112,5 - 0,5P) + C b) Para encontrar o lucro esperado, é preciso primeiro encontrar o preço que maximiza o lucro. Derivando a função de lucro em relação a P, temos: L'(P) = (225 - P - K² / 2(225 - P) - b) - (0,5(225 - P) + K² / 2(225 - P) + b + (225 - P)²x) Igualando a derivada a zero, temos: 225 - P - K² / 2(225 - P) - b - 0,5(225 - P) - K² / 2(225 - P) - b - (225 - P)²x = 0 Resolvendo para P, temos: P = 75 - K² / 6x - b / 2 - (1 / 6x)(225 - b)³ Substituindo P na função de demanda, temos: Q = 150 - K² / 12x - b / 4 - (1 / 12x)(225 - b)³ Substituindo Q na função de custo de curto prazo, temos: C = 0,5(150 - K² / 12x - b / 4 - (1 / 12x)(225 - b)³)² + K² / 2(150 - K² / 12x - b / 4 - (1 / 12x)(225 - b)³) + b(150 - K² / 12x - b / 4 - (1 / 12x)(225 - b)³) + (150 - K² / 12x - b / 4 - (1 / 12x)(225 - b)³)³x Substituindo os valores de K, b e x, temos: C = 0,5(150 - K² / 12 - b / 4 - (1 / 12)(225 - b)³)² + K² / 2(150 - K² / 12 - b / 4 - (1 / 12)(225 - b)³) + b(150 - K² / 12 - b / 4 - (1 / 12)(225 - b)³) + (150 - K² / 12 - b / 4 - (1 / 12)(225 - b)³)³(0,6 x 45 + 0,4 x 105) O lucro esperado é dado por: L = P(Q) x Q - C Substituindo os valores de P e Q, temos: L = (75 - K² / 6x - b / 2 - (1 / 6x)(225 - b)³)(150 - K² / 12x - b / 4 - (1 / 12x)(225 - b)³) - (0,5(150 - K² / 12x - b / 4 - (1 / 12x)(225 - b)³)² + K² / 2(150 - K² / 12x - b / 4 - (1 / 12x)(225 - b)³) + b(150 - K² / 12x - b / 4 - (1 / 12x)(225 - b)³) + (150 - K² / 12x - b / 4 - (1 / 12x)(225 - b)³)³(0,6 x 45 + 0,4 x 105))