Seja T : IR2 → IR2 isomorfismo, e γ e δ bases do IR2. Como T é bijetiva, [T ]γδ é invert́ıvel. Logo, existe uma base β do IR2 tal que [I]γβ = [T ...

Primeiramente, vamos encontrar a matriz de transformação [T]γδ. Para isso, precisamos encontrar as imagens dos vetores da base γ em relação à transformação T: T(1, 1) = (0, 2) T(1, -1) = (2, 0) Assim, a matriz de transformação [T]γδ é dada por: [T]γδ = [T(1, 1)]δ [T(1, -1)]δ = [0 2] [2 0] = [0 4] [2 0] Como T é bijetiva, [T]γδ é invertível. Portanto, existe uma base β tal que [I]γβ = [T]γδ. Para encontrar essa base, precisamos encontrar a matriz de mudança de base [P]βγ e a matriz inversa de [T]γδ. Para encontrar [P]βγ, precisamos encontrar as coordenadas dos vetores da base γ em relação à base β: u1 = a(1, 1) + b(1, -1) u2 = c(1, 1) + d(1, -1) Para isso, vamos usar as coordenadas dos vetores da base δ em relação à base β: (2, 0) = a(1, 1) + c(1, 1) (1, 2) = b(1, -1) + d(1, -1) Resolvendo esse sistema, encontramos: a = 1/2, b = -1/2, c = 1/2, d = 1/2 Assim, a matriz de mudança de base [P]βγ é dada por: [P]βγ = [u1]γ [u2]γ = [(1/2, 1/2)]γ [(1/2, -1/2)]γ = [1/2 1/2] [1/2 -1/2] Agora, para encontrar a matriz inversa de [T]γδ, vamos calcular o determinante: det([T]γδ) = 0*0 - 4*2 = -8 Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Para encontrar a matriz inversa, vamos usar a fórmula: [T]δγ = ([T]γδ)^(-1) Assim, temos: [T]δγ = [-1/4 1/2] [1/4 1/2] Finalmente, para encontrar a matriz de mudança de base [P]γβ, vamos usar a fórmula: [P]γβ = ([P]βγ)^(-1) Assim, temos: [P]γβ = [1/2 1/2] [1/2 -1/2] ^(-1) = [1/2 1/2] [1/2 -1/2] (1/2) Agora, podemos calcular a matriz de mudança de base [I]γβ: [I]γβ = [P]γβ [T]γδ [P]βγ = [1/2 1/2] [0 4] [1/2 1/2] [1/2 -1/2] [2 0] [1/2 -1/2] (1/2) = [2 2] [1/2 1/2] [0 4] [1/2 -1/2] (1/2) = [2 0] [0 8] (1/2) Agora, podemos calcular a norma ao quadrado dos vetores da base β: ||u1||^2 = [2 0] [1 0] = 2 [0 8] [0 1] ||u2||^2 = [2 0] [0 1] = 0 [0 8] [1 0] Assim, a resposta correta é: (b) 4