Suponha que as preferências de um consumidor em relação aos bens X e Y são descritas pela função U=(2X+8)(Y+4), X≥0, Y≥0, na qual U designa o índic...

Question

Suponha que as preferências de um consumidor em relação aos bens X e Y são descritas pela função U=(2X+8)(Y+4), X≥0, Y≥0, na qual U designa o índice utilidade e X e Y as quantidades de cada um dos bens, expressas em unidades por período de tempo. Os preços unitários destes bens são os seguintes: PX=200 u.m. e PY=100 u.m. a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função utilidade e esboce algumas dessas curvas. b) Determine a expressão analítica da curva consumo-rendimento e explicite o significado desta curva. Proceda a uma representação gráfica ilustrativa. c) Determine as expressões analíticas das curvas de Engel dos bens X e Y e explique o significado destas curvas. Proceda a uma representação gráfica ilustrativa. d) Classifique estes dois bens, tendo em conta a relação entre o seu consumo e o rendimento do consumidor. e) Determine a quantidade consumida de ambos os bens em equilíbrio, quando o rendimento integralmente despendido, por período de tempo, na aquisição destes dois bens é de 4000 u.m..
a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função utilidade e esboce algumas dessas curvas.
b) Determine a expressão analítica da curva consumo-rendimento e explicite o significado desta curva. Proceda a uma representação gráfica ilustrativa.
c) Determine as expressões analíticas das curvas de Engel dos bens X e Y e explique o significado destas curvas. Proceda a uma representação gráfica ilustrativa.
d) Classifique estes dois bens, tendo em conta a relação entre o seu consumo e o rendimento do consumidor.
e) Determine a quantidade consumida de ambos os bens em equilíbrio, quando o rendimento integralmente despendido, por período de tempo, na aquisição destes dois bens é de 4000 u.m..

Ed · Answer

a) As curvas de indiferença são obtidas igualando a função utilidade a um valor constante. Assim, temos:

U = (2X + 8)(Y + 4) = k

Isolando Y, temos:

Y = (k/(2X + 8)) - 4

Podemos esboçar algumas curvas de indiferença, variando o valor de k. Quanto maior o valor de k, maior será a utilidade do consumidor e, portanto, mais distante do eixo das abscissas será a curva de indiferença correspondente.

b) A curva consumo-rendimento é obtida igualando o gasto total do consumidor com os dois bens ao seu rendimento. Assim, temos:

PX*X + PY*Y = M

Substituindo Y pela expressão obtida na letra a), temos:

PX*X + PY*((k/(2X + 8)) - 4) = M

Isolando X, temos:

X = (M/PX) - (PY/PX)*((k/(2X + 8)) - 4)

Podemos representar graficamente a curva consumo-rendimento, variando o valor de M. A curva mostra as combinações de X e Y que o consumidor pode adquirir, dado o seu rendimento e os preços dos bens.

c) As curvas de Engel mostram a relação entre a quantidade consumida de um bem e o rendimento do consumidor, mantendo-se constantes os preços dos bens. Assim, temos:

X = f(M) e Y = g(M)

Substituindo Y pela expressão obtida na letra a), temos:

X = (M/PX) - (PY/PX)*((k/(2X + 8)) - 4)

Podemos representar graficamente as curvas de Engel, variando o valor de k. Quanto maior o valor de k, maior será a quantidade consumida de ambos os bens.

d) O bem X é um bem normal, pois a quantidade consumida aumenta com o aumento do rendimento do consumidor. Já o bem Y é um bem inferior, pois a quantidade consumida diminui com o aumento do rendimento do consumidor.

e) Substituindo os valores dados na expressão obtida na letra b), temos:

200X + 100Y = 4000

Substituindo Y pela expressão obtida na letra a), temos:

200X + 100*((k/(2X + 8)) - 4) = 4000

Isolando X, temos uma equação do segundo grau:

2X^2 + 16X - k + 100 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos duas raízes, das quais escolhemos a que é positiva e satisfaz a restrição X ≥ 0. Com essa raiz, podemos obter a quantidade consumida de X e, substituindo na expressão obtida na letra a), podemos obter a quantidade consumida de Y.

Suponha que as preferências de um consumidor em relação aos bens X e Y são descritas pela função U=(2X+8)(Y+4), X≥0, Y≥0, na qual U designa o índic...

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