A prova por indução matemática consiste em dois passos: Passo Base: Para � = 1 n=1, a proposição afirma que 1 = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 1= 2 1(1+1) ​...

A prova por indução matemática consiste em dois passos: Passo Base: Para � = 1 n=1, a proposição afirma que 1 = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1 1= 2 1(1+1) ​ =1, o que é verdadeiro. Passo Indutivo: Suponha que a proposição seja verdadeira para um certo � k. Ou seja, suponha que: 1 + 2 + 3 + … + � = � ( � + 1 ) 2 1+2+3+…+k= 2 k(k+1) ​ Agora, vamos provar que a proposição também é verdadeira para � + 1 k+1: 1 + 2 + 3 + … + � + ( � + 1 ) = � ( � + 1 ) 2 + ( � + 1 ) 1+2+3+…+k+(k+1)= 2 k(k+1) ​ +(k+1) = � ( � + 1 ) + 2 ( � + 1 ) 2 = 2 k(k+1)+2(k+1) ​ = ( � + 1 ) ( � + 2 ) 2 = 2 (k+1)(k+2) ​ Portanto, a proposição é verdadeira para � + 1 k+1. Com isso, podemos concluir que a proposição � ( � ) P(n) é verdadeira para todos os números naturais � n. A indução matemática é uma ferramenta poderosa que é amplamente utilizada em diversas áreas da matemática, incluindo álgebra, teoria dos números, análise matemática, entre outras. Ela não só é útil para provar teoremas, mas também para estabelecer propriedades importantes de sequências, séries e conjuntos.