Seja H um subgrupo do grupo aditivo ℤ. Se H = {0}, então todo elemento de H é múltiplo de 0 e podemos considerar n = 0. Suponha agora que H ≠ {0} e seja r um elemento não nulo de H. Como H é um grupo, x ∈ H ⇔ −x ∈ H. Assim, H contém inteiros positivos. Seja n o menor inteiro positivo de H. Se h for um elemento positivo de H, então dividindo h por n obtemos um quociente q e um resto r tal que 0 ≤ r < n, ou seja, h = nq + r. Daí, obtemos que r = h − nq. Como h ∈ H e nq ∈ H, temos que r ∈ H. Não podemos ter r > 0 porque assim r seria um elemento positivo menor do que n (o que contradiz o fato de que n é o menor elemento positivo de H). Concluímos então que r = 0, ou seja, que h = nq. Isso mostra que h é múltiplo de n. Se h fosse negativo, então −h seria positivo e estaria em H. Mas isso contradiz o fato de que n é o menor inteiro positivo em H. Portanto, todo elemento de H é múltiplo de n e H = {kn | k ∈ ℤ}.
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta
Compartilhar