Questão 2 Para o cálculo das integrais triplas é necessário identificar e selecionar uma das possíveis ordens de integração, quando possível. Nesse...

Questão 2
Para o cálculo das integrais triplas é necessário identificar e selecionar uma das possíveis ordens de integração, quando possível. Nesse sentido, é necessário identificar se existem relações definidas entre os limites de integração.
Diante desse tema, deseja-se calcular a integral tripla da função de três variáveis reais
????(????, ????, ????) = 4???? − 3????????
na região ???? definida como segue:
???? = {(????, ????, ????) ∈ ℝ3 | 0 ≤ ???? ≤ ????, 1 ≤ ???? ≤ 2, 0 ≤ ???? ≤ 1}
Com base nesse tema, responda:
a) Determine todas as possíveis ordens de integração que podem ser empregadas no cálculo da integral tripla de ???? sobre a região ????.
b) Calcule a integral tripla da função ???? sobre ???? utilizando uma das integrais apresentadas no item a.
c) Determine o volume da região ???? a partir do cálculo de uma integral tripla.
Gabarito:
a) Observe que o limite de integração para ???? depende da variável ???? então precisamos, em qualquer possibilidade, considerar que o cálculo da integral relativa a ???? seja realizado anteriormente ao cálculo da integral referente a ????. Sendo assim, temos as seguintes possibilidades:

∭ ????(????, ????, ????)
????

???????? = ∫ ∫ ∫ (4???? − 3????????)
2
1
????????
????
0
????????
1
0
???????? = ∫ ∫ ∫ (4???? − 3????????)
????
0
????????
1
0
????????
2
1
????????

= ∫ ∫ ∫ (4???? − 3????????)
????
0
????????
2
1
????????
1
0
????????

b) Utilizando a última possibilidade apresentada, temos o cálculo da integral tripla como segue:

∫ ∫ ∫ (4???? − 3????????)
????
0
????????
2
1
????????
1
0
???????? = ∫ ∫ [
4????2
2
− 3????????????]
0
????2
1
????????
1
0
???????? = ∫ ∫ (2????2 − 3????????2)
2
1
????????
1
0
????????

= ∫ [2????????2 −
3
2
????2????2]
1
2/3
0
???????? = ∫ [(4????2 − 6????2) − (2????2 −
3
2
????2)]
1
0
???????? = −
5
2
∫ ????2
1
0
????????

= −
5
6

c) Para calcular o volume da região ???? devemos calcular a integral tripla ????(????) = ∭ ????????
????

. Nesse caso, podemos adotar, por exemplo, a seguinte ordem nos limites de integração:

????(????) = ∫ ∫ ∫ ????????
2
1
????
0
????????
1
0
???????? = ∫ ∫ [????]1
2
????
0
????????
1
0
???????? = ∫ ∫ ????????
????
0
1
0
???????? = ∫ [????]0
????
1
0
???????? = ∫ ????
1
0
???????? = [
????2
2
]
0
1
=
1
2
= 0,5 u. v.