Por intermédio da utilização do Teorema de Stokes, considere que seja dado um cálculo da circulação do campo Fx,y,z = (2y,3x,-z2) ao redor de um cí...

O Teorema de Stokes relaciona a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre a superfície delimitada pela curva. No caso da questão, temos o campo vetorial Fx,y,z = (2y,3x,-z^2) e a curva C de equação x^2 + y^2 = 4. Para calcular a circulação do campo ao redor da curva, podemos utilizar o Teorema de Stokes da seguinte forma: 1. Calcular o rotacional do campo vetorial F: rot(F) = (dFz/dy - dFy/dz, dFx/dz - dFz/dx, dFy/dx - dFx/dy) rot(F) = (-2z, 0, 3) 2. Calcular a integral de superfície do rotacional de F sobre a superfície delimitada pela curva C: ∬S rot(F) . dS = ∫∫(rot(F) . n) dS Onde n é o vetor normal à superfície S e dS é o elemento de área da superfície. 3. Como a curva C está no plano xy, podemos escolher o vetor normal n apontando na direção do eixo z positivo: n = (0, 0, 1) 4. Podemos parametrizar a superfície S delimitada pela curva C como: r(x,y) = (x, y, 0), com x^2 + y^2 <= 4 5. Calculando o rotacional de F . n: rot(F) . n = -2z 6. Substituindo a parametrização da superfície e o vetor normal na integral de superfície: ∬S rot(F) . dS = ∫∫(rot(F) . n) dS ∬S rot(F) . dS = ∫∫(-2z) dxdy, com x^2 + y^2 <= 4 7. Fazendo a mudança de variáveis para coordenadas polares: x = r cos(θ) y = r sin(θ) dxdy = r dr dθ 8. Substituindo as novas variáveis na integral: ∬S rot(F) . dS = ∫∫(-2z) dxdy ∬S rot(F) . dS = ∫θ=0^2π ∫r=0^2 (-2r^2 sin(θ)) dr dθ 9. Resolvendo a integral: ∬S rot(F) . dS = ∫θ=0^2π ∫r=0^2 (-2r^2 sin(θ)) dr dθ ∬S rot(F) . dS = 0 Portanto, a circulação do campo F ao redor da curva C é zero.