Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo ~F(x,y,z) = −2yz~i+ y ~j + 3x~k e a superfície S, dada pela parte do paraboloide z = 5−...

Para verificar se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo ~F(x,y,z) = −2yz~i+ y ~j + 3x~k e a superfície S, dada pela parte do paraboloide z = 5− x² − y² que está acima do plano z = 1, orientada para cima, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o rotacional do campo vetorial F: rot(F) = (∂Q/∂y - ∂P/∂z) i + (∂R/∂z - ∂P/∂x) j + (∂P/∂y - ∂Q/∂x) k Onde P = 3x, Q = -2yz e R = y. Então, temos: ∂Q/∂y = -2z ∂R/∂z = 0 ∂P/∂y = 0 ∂Q/∂x = 0 ∂P/∂z = 0 ∂R/∂x = 0 Portanto, rot(F) = -2z i. 2. Encontrar o vetor normal unitário à superfície S: z = 5 - x² - y² e z = 1 A interseção entre as duas superfícies é um círculo de raio 2, com centro na origem e no plano z = 1. Para encontrar o vetor normal unitário, podemos usar a seguinte fórmula: n = (grad(g) / |grad(g)|) x (-k) Onde g é a equação da superfície e k é o vetor unitário na direção do eixo z. Então, temos: grad(g) = -2xi - 2yj + k |grad(g)| = √(4x² + 4y² + 1) Portanto, n = (2x i + 2y j + k) / √(4x² + 4y² + 1). 3. Calcular a integral de superfície de rot(F) sobre S: ∫∫(rot(F) . n) dS Como a superfície S é um círculo de raio 2, podemos usar coordenadas polares para parametrizá-la: x = r cosθ y = r sinθ z = 5 - r² O vetor normal unitário em coordenadas polares é dado por: n = (2r cosθ i + 2r sinθ j + k) / √(4r² + 1) Então, temos: rot(F) . n = (-4r² cosθ) / √(4r² + 1) E a integral de superfície fica: ∫∫(rot(F) . n) dS = ∫∫(-4r² cosθ / √(4r² + 1)) r dr dθ Integrando em relação a r de 0 a 2 e em relação a θ de 0 a 2π, obtemos: ∫∫(rot(F) . n) dS = -16π / 3 4. Calcular a integral de linha de F sobre a curva que é a interseção entre a superfície S e o plano z = 1, orientada para cima: A curva é um círculo de raio 2, com centro na origem e no plano z = 1. Podemos parametrizá-la usando coordenadas polares: x = r cosθ y = r sinθ z = 1 Então, temos: F = (-2r² sinθ) i + (r cosθ) j + (3r cosθ) k dr = (-r sinθ) dθ i + (r cosθ) dθ j E a integral de linha fica: ∫(F . dr) = ∫(-2r³ sinθ) dθ Integrando em relação a θ de 0 a 2π, obtemos: ∫(F . dr) = 0 5. Verificar se o Teorema de Stokes é verdadeiro: Como a integral de superfície de rot(F) sobre S é diferente de zero e a integral de linha de F sobre a curva que é a interseção entre S e o plano z = 1 é igual a zero, podemos concluir que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e a superfície S.