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De quantas formas distintas podemos distribuir 12 objetos idênticos em 3 caixas enumeradas garantindo que cada caixa possua no mínimo 2 objetos?

((12− 6) + 3− 1 / 3− 1) = ((8 / 2)) = 28

Desvendando com Questões

há 2 anos

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3 pág.

Análise Combinatória - Prova 1 - 2013/2

UFRGS

Respostas

há 2 anos

A resposta está correta. O raciocínio utilizado foi o de distribuição de bolas em caixas, onde a fórmula utilizada foi a de combinação com repetição. Para garantir que cada caixa possua no mínimo 2 objetos, retiramos 2 objetos de cada uma das 3 caixas, ficando com 6 objetos. Em seguida, distribuímos esses 6 objetos nas 3 caixas, garantindo que cada uma tenha pelo menos 2 objetos. A fórmula utilizada foi: ((n - r) + p - 1) / (p - 1), onde n é o número de objetos, r é o número de caixas e p é o número mínimo de objetos em cada caixa. Substituindo os valores, temos: ((12 - 6) + 3 - 1) / (3 - 1) = 8 / 2 = 4. Portanto, existem 4 formas distintas de distribuir 12 objetos idênticos em 3 caixas enumeradas garantindo que cada caixa possua no mínimo 2 objetos.

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a) 6!
b) 2!2!6!2!
c) 6! - 2!2!6!2!

De quantas maneiras distintas 2 americanos, 3 espanhóis e 2 japoneses podem sentar em fila, de modo que os de mesma nacionalidade sentem juntos?

3!× 2!× 3!× 2! = 144

Considere uma máquina caça-níqueis com três slots: Quando a alavanca é ativada, cada slot seleciona um dos seguintes itens: { , , , , } Esta máquina dá prêmios quando: • Os três símbolos sorteados são iguais. • Os três símbolos são distintos e consecutivos no círculo abaixo, não importando o sentido (horário ou anti-horário). Responda: (a) Qual a chance de um jogador ganhar um prêmio nessa máquina?
a) 5 + 5 + 5 / 53 = 3 / 25

b) As chances aumentam na segunda máquina. 5× 4× 3 / 53 = 12 / 25

Calcule: (a) A sequência codificada pela função geradora ordinária 1(1−x)x2. (b) A sequência codificada pela função geradora exponencial e2x + ex.

(0, 0, 1, 1, 1, 1, . . .)
(2, 3, 5, 9, 17, 33, . . .), ou (an) = 2n + 1

Imagine o jogo de apostas descrito abaixo: Há 20 números distintos ao total. Cada jogador escolhe 4 números para formar sua aposta. O sorteio é feito removendo ao acaso esferas numeradas (de 1 a 20) de um globo, sem colocar a esfera de volta. A cada número retirado, é verificado se o número está contido na aposta de algum jogador. Se for o caso, o prêmio é dividido entre todos os jogadores cuja aposta contém o número. Se o número não estiver contido na aposta de nenhum jogador, outro número é retirado, sendo esse processo é repetido até que haja no mínimo um ganhador. Imagine uma instância desse jogo, onde há 3 apostadores com as respectivas apostas indicadas abaixo: • Goku = {1, 5, 6, 7} • Piccolo = {1, 2, 8, 9} • Gohan = {3, 15, 19, 20} Qual o número mínimo de esferas que precisam ser retiradas nessa instância do jogo para termos certeza de que haverá no mínimo um ganhador?

A = (Goku ∪ Piccolo ∪ Gohan)
B = {1 . . . 20} − A
B = {4, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18}
|B| = 9
Portanto, precisamos de no mínimo 10 esferas retiradas para garantirmos que haverá alguma esfera do conjunto A presente no sorteio.

Considere agora uma máquina caça-níqueis similar à da questão 4. Suponha que ela atue sobre o mesmo conjunto de símbolos. A diferença está no fato desta máquina possuir 7 slots, e no critério para ganhar: é necessário ter os cinco símbolos distintos ocorrendo na sequência sorteada para que esta ganhe o prêmio. Apresente a expressão que conta o número de sorteios premiados. A resposta pode estar no formato [..](..) (método das funções geradoras) ou então como uma expressão numérica (não é necessário calcular até o final, simplemente descreva a expressão em termos de operações básicas e notação binomial).

[x7 / 7!] (ex − 1)5
5∑i=0 (−1)i (5i) (5− i)7
((5 / 1) × (7 / 3, 1, 1, 1, 1)) + ((5 / 2) × (7 / 2, 2, 1, 1, 1))

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Calcule: (a) A sequência codificada pela função geradora ordinária 1(1−x)x2. (b) A sequência codificada pela função geradora exponencial e2x + ex.(0, 0, 1, 1, 1, 1, . . .)(2, 3, 5, 9, 17, 33, . . .), ou (an) = 2n + 1

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(0, 0, 1, 1, 1, 1, . . .)
(2, 3, 5, 9, 17, 33, . . .), ou (an) = 2n + 1