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Considere uma máquina caça-níqueis com três slots: Quando a alavanca é ativada, cada slot seleciona um dos seguintes itens: { , , , , } Esta máquina dá prêmios quando: • Os três símbolos sorteados são iguais. • Os três símbolos são distintos e consecutivos no círculo abaixo, não importando o sentido (horário ou anti-horário). Responda: (a) Qual a chance de um jogador ganhar um prêmio nessa máquina?
a) 5 + 5 + 5 / 53 = 3 / 25

b) As chances aumentam na segunda máquina. 5× 4× 3 / 53 = 12 / 25

Desvendando com Questões

há 2 anos

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3 pág.

Análise Combinatória - Prova 1 - 2013/2

UFRGS

Respostas

há 2 anos

A resposta correta é a letra a) 3/25. Para calcular a probabilidade de ganhar um prêmio na máquina caça-níqueis, precisamos primeiro determinar quantas combinações possíveis existem. Como cada slot pode selecionar um dos cinco símbolos, existem 5 x 5 x 5 = 125 combinações possíveis. Agora, precisamos determinar quantas dessas combinações resultam em um prêmio. Existem 5 combinações em que os três símbolos são iguais (por exemplo, AAA ou BBB), e existem 5 x 4 x 3 = 60 combinações em que os três símbolos são distintos e consecutivos (por exemplo, ABC ou CDE). Portanto, a probabilidade de ganhar um prêmio é a soma das chances de obter três símbolos iguais e três símbolos distintos e consecutivos: 5/125 + 60/125 = 3/25.

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a) 6!
b) 2!2!6!2!
c) 6! - 2!2!6!2!

De quantas maneiras distintas 2 americanos, 3 espanhóis e 2 japoneses podem sentar em fila, de modo que os de mesma nacionalidade sentem juntos?

3!× 2!× 3!× 2! = 144

De quantas formas distintas podemos distribuir 12 objetos idênticos em 3 caixas enumeradas garantindo que cada caixa possua no mínimo 2 objetos?

((12− 6) + 3− 1 / 3− 1) = ((8 / 2)) = 28

Calcule: (a) A sequência codificada pela função geradora ordinária 1(1−x)x2. (b) A sequência codificada pela função geradora exponencial e2x + ex.

(0, 0, 1, 1, 1, 1, . . .)
(2, 3, 5, 9, 17, 33, . . .), ou (an) = 2n + 1

Imagine o jogo de apostas descrito abaixo: Há 20 números distintos ao total. Cada jogador escolhe 4 números para formar sua aposta. O sorteio é feito removendo ao acaso esferas numeradas (de 1 a 20) de um globo, sem colocar a esfera de volta. A cada número retirado, é verificado se o número está contido na aposta de algum jogador. Se for o caso, o prêmio é dividido entre todos os jogadores cuja aposta contém o número. Se o número não estiver contido na aposta de nenhum jogador, outro número é retirado, sendo esse processo é repetido até que haja no mínimo um ganhador. Imagine uma instância desse jogo, onde há 3 apostadores com as respectivas apostas indicadas abaixo: • Goku = {1, 5, 6, 7} • Piccolo = {1, 2, 8, 9} • Gohan = {3, 15, 19, 20} Qual o número mínimo de esferas que precisam ser retiradas nessa instância do jogo para termos certeza de que haverá no mínimo um ganhador?

A = (Goku ∪ Piccolo ∪ Gohan)
B = {1 . . . 20} − A
B = {4, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18}
|B| = 9
Portanto, precisamos de no mínimo 10 esferas retiradas para garantirmos que haverá alguma esfera do conjunto A presente no sorteio.

Considere agora uma máquina caça-níqueis similar à da questão 4. Suponha que ela atue sobre o mesmo conjunto de símbolos. A diferença está no fato desta máquina possuir 7 slots, e no critério para ganhar: é necessário ter os cinco símbolos distintos ocorrendo na sequência sorteada para que esta ganhe o prêmio. Apresente a expressão que conta o número de sorteios premiados. A resposta pode estar no formato [..](..) (método das funções geradoras) ou então como uma expressão numérica (não é necessário calcular até o final, simplemente descreva a expressão em termos de operações básicas e notação binomial).

[x7 / 7!] (ex − 1)5
5∑i=0 (−1)i (5i) (5− i)7
((5 / 1) × (7 / 3, 1, 1, 1, 1)) + ((5 / 2) × (7 / 2, 2, 1, 1, 1))

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