Determine a família de soluções da integral indefinida integral parêntese esquerdo 3 x mais 1 parêntese direito ao quadrado d x, utilizando uma d...

Para resolver essa integral, podemos utilizar a técnica de substituição trigonométrica. Fazendo a substituição x = tan(u), temos: dx = sec²(u) du 3x + 1 = 3tan(u) + 1 = sec(u) Substituindo na integral, temos: integral (3x + 1)² dx = integral sec²(u) * (3tan(u) + 1)² du = integral (3sec⁴(u) + 6sec²(u) + 3) du Integrando termo a termo, temos: integral 3sec⁴(u) du = 3/2 * tan(u) * sec²(u) + 3/2 * ln|sec(u) + tan(u)| + C1 integral 6sec²(u) du = 6 * tan(u) + C2 integral 3 du = 3u + C3 Substituindo de volta u = arctan(x), temos: 3/2 * (2x + 1) * (3x² + 2x + 2)^(-1/2) + 3/2 * ln|3x + 1 + 2x(3x² + 2x + 2)^(1/2)| + 6 * arctan(x) + C Portanto, a alternativa correta é a letra D: parêntese esquerdo 3 x ao quadrado mais 1 parêntese direito à potência de 4 mais c.