8 – utilizando coordenadas polares calcule ∫∫ᴿ (3x + 4y²)dA na qual a região R é descrita através de R = {(x,y)|y ≥ 0,1≤ x² + y² ≤ 4 }. Dado que ...

Para calcular a integral ∫∫ᴿ (3x + 4y²)dA em coordenadas polares, precisamos primeiro encontrar os limites de integração em r e θ. A região R é descrita por y ≥ 0 e 1 ≤ x² + y² ≤ 4. Em coordenadas polares, isso se torna 0 ≤ θ ≤ π/2 e 1 ≤ r ≤ 2. Então, podemos escrever a integral como: ∫∫ᴿ (3x + 4y²)dA = ∫[0,π/2]∫[1,2] (3rcosθ + 4r²sin²θ)rdrdθ Resolvendo a integral, temos: ∫∫ᴿ (3x + 4y²)dA = ∫[0,π/2]∫[1,2] (3rcosθ + 4r²sin²θ)rdrdθ = ∫[0,π/2] [(3/4)r³cosθ + (4/3)r⁵sin²θ] de 1 a 2 dθ = ∫[0,π/2] [(3/4)(2³ - 1³)cosθ + (4/3)(2⁵ - 1⁵)sin²θ] dθ = ∫[0,π/2] [(21/4)cosθ + (124/3)sin²θ] dθ = (21/4)sen(π/2) + (124/9)sen(π/2) = 21/4 + 124/9 = 529/36 Portanto, a resposta é 529/36. Para calcular a área contida em um laço de rosácea de quatro pétalas r = cos 20, podemos usar a fórmula da área em coordenadas polares: A = (1/2)∫[α,β] r² dθ Onde α e β são os ângulos que delimitam a região de interesse. No caso, temos α = -π e β = π, e r = cos 20. Substituindo na fórmula, temos: A = (1/2)∫[-π,π] cos² 20 dθ = (1/2)∫[-π,π] (1 + cos 40)/2 dθ = (1/4)∫[-π,π] (1 + cos 40) dθ = (1/4) [2π + sen 40] = π/2 + (1/4)sen 40 Portanto, a área contida em um laço de rosácea de quatro pétalas r = cos 20 é π/2 + (1/4)sen 40.