Considere o conjunto ???? de pontos do plano cartesiano da forma (???? , ????), com ???? e ???? pertencentes a {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. a) Apresente todos os ...

a) Para que o produto ???? ∙ ???? seja maior que 60, precisamos encontrar os pares de números que satisfazem a condição. Podemos fazer isso de duas maneiras: - Listando todos os pares possíveis e verificando se o produto é maior que 60; - Observando que o produto será maior que 60 se ambos os números forem maiores que 6, pois 7 x 9 = 63, que é maior que 60. Assim, os pontos (7, 7), (7, 8), (7, 9), (8, 7), (8, 8), (8, 9), (9, 7), (9, 8) e (9, 9) são os pontos de ???? para os quais o produto ???? ∙ ???? é maior do que 60. b) O número total de pontos em ???? é 7 x 7 = 49. Para que a fração seja redutível, o numerador e o denominador devem ter um fator em comum diferente de 1. O número de pontos em que isso ocorre é igual ao número de pontos em que o numerador e o denominador são ambos pares ou ambos ímpares. Existem 4 números pares e 3 números ímpares em {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Portanto, o número de pontos em que o numerador e o denominador são ambos pares é 4 x 4 = 16, e o número de pontos em que o numerador e o denominador são ambos ímpares é 3 x 3 = 9. Assim, a probabilidade de que a fração seja redutível é (16 + 9) / 49 = 25 / 49. c) A distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada pela fórmula: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) Para que a distância seja igual a sqrt(13), precisamos encontrar os pares de pontos cuja distância é igual a sqrt(13). Podemos fazer isso de duas maneiras: - Listando todos os pares possíveis e verificando se a distância é igual a sqrt(13); - Observando que a distância será igual a sqrt(13) se os pontos estiverem a uma distância de 2 unidades um do outro em uma direção e a uma distância de 3 unidades em outra direção. Por exemplo, os pontos (3, 5) e (5, 8) estão a uma distância de sqrt(13) um do outro. Existem 2 x 4 = 8 pares de pontos que satisfazem a condição. O número total de pares de pontos distintos em ???? é C(49, 2) = 1176. Portanto, a probabilidade de que a distância entre dois pontos sorteados seja igual a sqrt(13) é 8 / 1176 = 1 / 147.