Exercício 4.18. Usando (4.18), calcule os limites. 1. limx!0 tanx x 2. limx!0 senx tanx 3. limx!0 sen 2x cosx 4. limx!0 sen 2x x cosx 5. limx!...

1. Para calcular esse limite, podemos usar a definição de derivada da função tangente. Derivando a função tangente, obtemos: limx→0 tanx/x = limx→0 (senx/cosx)/x = limx→0 senx/(x cosx) Usando a regra de L'Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente: limx→0 senx/(x cosx) = limx→0 cosx/cosx - senx/x cosx = limx→0 cosx - senx/x Agora, podemos usar a expansão em série de Taylor para seno e cosseno: limx→0 cosx - senx/x = limx→0 (1 - x^2/2 + O(x^4)) - (x - x^3/6 + O(x^5))/x = limx→0 (1 - x^2/2 + O(x^4)) - (1 - x^2/6 + O(x^4)) = limx→0 (x^2/3 + O(x^4)) = 0 Portanto, o limite é igual a 0. 2. Novamente, podemos usar a definição de derivada da função seno e da função tangente: limx→0 senx/tanx = limx→0 senx/(senx/cosx) = limx→0 cosx Como cos(0) = 1, o limite é igual a 1. 3. Usando a regra de L'Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente: limx→0 sen 2x/cosx = limx→0 2cos 2x/senx = limx→0 2(1 - 2x^2/2! + O(x^4))/(x - x^3/3! + O(x^5)) = limx→0 (2 - 2x^2 + O(x^4))/(1 - x^2/3 + O(x^4)) = 2 Portanto, o limite é igual a 2. 4. Usando a regra de L'Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente: limx→0 sen 2x/(x cosx) = limx→0 2cos 2x/cosx - xsenx/cosx^2 = limx→0 2(1 - 2x^2/2! + O(x^4))/(1 - x^2/2! + O(x^4)) - x(1 - x^2/3! + O(x^4))/(1 - x^2/2! + O(x^4))^2 = limx→0 (2 - 2x^2 + O(x^4))/(1 - x^2/2! + O(x^4)) - x(1 - x^2/3! + O(x^4))/(1 - x^2/2! + O(x^4))^2 = 0 Portanto, o limite é igual a 0. 5. Usando a regra de L'Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente: limx→0 (1 - cosx)/x^2 = limx→0 sen^2(x/2)/x^2 = limx→0 (1/4)(sen(x/2)/x/2)^2 = (1/4)(1/2)^2 = 1/8 Portanto, o limite é igual a 1/8. 6. Usando a regra de L'Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente: limx→0+ cosx/x = +∞ Portanto, o limite é igual a +∞. 7. Usando a regra de L'Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente: limx→0+ sen(x^2)/x = limx→0+ 2x cos(x^2)/1 = 0 Portanto, o limite é igual a 0.