Determine uma equação da reta tangente á curva x^2sen(y) + cos(x) = 1 no ponto 4π = x. Derivação implicita Derivação implícita

Para determinar a equação da reta tangente à curva x^2sen(y) + cos(x) = 1 no ponto 4π = x, podemos utilizar a derivação implícita. Começamos derivando ambos os lados da equação em relação a x: d/dx [x^2sen(y) + cos(x)] = d/dx [1] Utilizando a regra da cadeia, temos: 2xsen(y)dy/dx + (-sen(x)) = 0 Agora, podemos encontrar a inclinação da reta tangente substituindo x = 4π na equação acima: 2(4π)sen(y)dy/dx + (-sen(4π)) = 0 8πsen(y)dy/dx = 0 dy/dx = 0 Portanto, a inclinação da reta tangente é zero. Agora, precisamos encontrar o valor de y no ponto (4π, y) para determinar a equação da reta tangente. Para isso, podemos utilizar a equação original: x^2sen(y) + cos(x) = 1 Substituindo x = 4π, temos: (4π)^2sen(y) + cos(4π) = 1 16π^2sen(y) + 1 = 1 sen(y) = 0 y = kπ, onde k é um número inteiro Portanto, o ponto (4π, y) é (4π, kπ). Agora, podemos escrever a equação da reta tangente utilizando a fórmula y - y1 = m(x - x1), onde m é a inclinação da reta tangente e (x1, y1) é o ponto em que a reta tangente toca a curva: y - kπ = 0(x - 4π) y = kπ Portanto, a equação da reta tangente é y = kπ.