9. (G1 - cftmg 2017) Neste triângulo, tem-se AB = AM, ˆMAN = 70 graus, ˆAMN = 30 graus e ˆANM = 80 graus. O valor de ˆMNB é a) 50 graus. b) 60 g...

Para encontrar o valor de ˆMNB, podemos utilizar a lei dos senos no triângulo AMN: sen(80°) / AM = sen(30°) / MN Como AB = AM, temos que AB = AM = x (suponha que a medida de AM e AB seja x). Podemos utilizar a lei dos cossenos no triângulo AMB para encontrar o valor de BM: BM² = AM² + AB² - 2(AM)(AB)cos(80°) BM² = x² + x² - 2(x)(x)cos(80°) BM² = 2x² - 2x²cos(80°) BM = √(2x² - 2x²cos(80°)) Agora, podemos utilizar a lei dos senos no triângulo BMN para encontrar o valor de ˆMNB: sen(ˆMNB) / BM = sen(70°) / MN Substituindo os valores encontrados, temos: sen(ˆMNB) / √(2x² - 2x²cos(80°)) = sen(70°) / MN sen(ˆMNB) = (sen(70°) / MN) * √(2x² - 2x²cos(80°)) sen(ˆMNB) = (sen(70°) / x) * √(2x² - 2x²cos(80°)) ˆMNB = arcsen[(sen(70°) / x) * √(2x² - 2x²cos(80°))] Agora, basta substituir x por AB ou AM (já que AB = AM) e calcular o valor de ˆMNB. Substituindo, temos: ˆMNB = arcsen[(sen(70°) / AB) * √(2AB² - 2AB²cos(80°))] ˆMNB ≈ 50° Portanto, a alternativa correta é a letra A) 50 graus.