Suponha que y = f(x) seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação xy + y + x = 1. Calcule a derivada de y em relação a x.

Para calcular a derivada de y em relação a x, podemos utilizar a regra da cadeia. Primeiro, vamos isolar y na equação dada: xy + y + x = 1 y(x + 1) = 1 - x y = (1 - x)/(x + 1) Agora, podemos derivar implicitamente ambos os lados da equação original em relação a x: xy + y + x = 1 Diferenciando ambos os lados em relação a x: x(dy/dx) + y + (dx/dx) = 0 x(dy/dx) + y = -1 Substituindo y por (1 - x)/(x + 1), temos: x(dy/dx) + (1 - x)/(x + 1) = -1 Multiplicando ambos os lados por (x + 1), temos: x(dy/dx)(x + 1) + (1 - x) = -(x + 1) Resolvendo para dy/dx, temos: dy/dx = [(x + 1) - (1 - x)]/[(x + 1)^2] dy/dx = 2/(x + 1)^2 Portanto, a derivada de y em relação a x é igual a 2/(x + 1)^2.