Questão resolvida - Uma função é dada implicitamente pela equação; x²+2sen(xy)+e^x=2pi, Qual o valor do coeficiente angular da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função y(x) no ponto (1,2pi)

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma função é dada implicitamente pela equação; , Qual o valor x² + 2sen xy = 2𝜋( )
do coeficiente angular da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função y(x) no 
ponto ?𝜋, 2𝜋( )
 
Resolução:
 
Coeficiente angular - Reta tangente
 
A reta tangente a uma curva dada por: y = f' x, y x + b( )
 é o coeficiente angular da reta tangente à em qualquer ponto (x,y), a função é f' x, y( ) y
dada implicitamente, fazendo a derivada, temos:
 
2x + 2cos xy y + 2cos xy xy' = 0 2cos xy xy' = - 2x - 2cos xy y( ) ( ) → ( ) ( )
 
f' x, y = y' =( )
-2x - 2cos xy y
2cos xy x
( )
( )
Substituindo o ponto 𝜋, 1 em f' x, y = y' x, y teremos o coeficiente angular da reta( ) ( ) ( )
tangente à curva;
 
f' 𝜋, 2𝜋 = f' 𝜋, 2𝜋 =( )
-2 ⋅𝜋- 2cos 1 ⋅ 2𝜋 2𝜋
2cos 1 ⋅ 2𝜋 ⋅𝜋
( )
( )
→ ( )
-2𝜋- 4𝜋cos 2𝜋
2cos 2𝜋 𝜋
( )
( )
 
f' 𝜋, 2𝜋 = f' 𝜋, 2𝜋 = f' 𝜋, 2𝜋 =( )
-2𝜋- 4𝜋 ⋅ 1
2 ⋅ 1 ⋅𝜋
→ ( )
-2𝜋- 4𝜋
2𝜋
→ ( )
-6𝜋
2𝜋
 
f' 𝜋, 2𝜋 = - 3𝜋( )
 
Coeficiente angular - Reta normal
 
Existe uma relação entre o coeficiente ângular da reta tangente e da reta normal dada por:
m' = -
1
m
Já conhecemos o coeficiente ângular m da reta tangente, com isso, o coeficiente angular da 
rela normal é:
m' = - m' =
1
-3𝜋
→
1
3𝜋
 
 
(Resposta - reta tangente)
(Resposta - reta normal)