Dados os vetores u⃗ =(2,0,−3) e v⃗ =(1,1,1) , então o ângulo θ formado por u⃗ e v⃗ é igual a: a. θ=arccos(−139√) b. θ=arccos(139√) c. θ=arccos(−113√) d. θ=arccos(113√) e. θ=arccos(113√)

Question

Dados os vetores u⃗ =(2,0,−3)  e v⃗ =(1,1,1) , então o ângulo θ  formado por u⃗   e v⃗   é igual a:  a. θ=arccos(−139√)  b. θ=arccos(139√)  c. θ=ar...

Ed · Answer

Para encontrar o ângulo θ formado pelos vetores $ \vec{u} = (2, 0, -3) $ e $ \vec{v} = (1, 1, 1) $, utilizamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:

$$
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}
$$

1. **Calculando o produto escalar $ \vec{u} \cdot \vec{v} $**:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-3) \cdot 1 = 2 + 0 - 3 = -1
   $$

2. **Calculando as normas dos vetores**:
   $$
   ||\vec{u}|| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 0 + 9} = \sqrt{13}
   $$
   $$
   ||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
   $$

3. **Substituindo na fórmula**:
   $$
   \cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{\sqrt{39}}
   $$

4. **Encontrando o ângulo**:
   $$
   \theta = \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{39}}\right)
   $$

Agora, analisando as alternativas:

a) $ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{39}}\right) $  
b) $ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{39}}\right) $  
c) $ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{13}\right) $  
d) $ \theta = \arccos\left(\frac{1}{13}\right) $  
e) $ \theta = \arccos\left(\frac{1}{13}\right) $

A alternativa correta, considerando o resultado que encontramos, é a) $ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{39}}\right) $.

Ed · Answer

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, podemos usar a fórmula:

cos(θ) = (u⃗ · v⃗) / (||u⃗|| ||v⃗||)

Onde u⃗ · v⃗ é o produto escalar entre os vetores u⃗ e v⃗, e ||u⃗|| e ||v⃗|| são as normas dos vetores u⃗ e v⃗, respectivamente.

Substituindo os valores dos vetores u⃗ e v⃗, temos:

cos(θ) = ((2)(1) + (0)(1) + (-3)(1)) / (√(2² + 0² + (-3)²) √(1² + 1² + 1²))
cos(θ) = (-1) / (√13 √3)
cos(θ) = -1 / (2√39)

Para encontrar o valor de θ, podemos usar a função arccos:

θ = arccos(-1 / (2√39))

A resposta correta é a letra C: θ = arccos(-113√).

Geometria Analítica

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