Considere a sequência a1, a2, a3, ... definida como a1 = 3, ak = 7ak−1, para todos os inteiros k ≥ 2. Prove por indução matemática que an = 3 · 7n−...

Vamos provar por indução matemática que an = 3 · 7n−1 para todos os inteiros n ≥ 1. Base da indução: Para n = 1, temos a1 = 3 = 3 · 7^0, que é verdade. Hipótese da indução: Suponha que a afirmação seja verdadeira para um inteiro k ≥ 1, ou seja, ak = 3 · 7k−1. Passo da indução: Vamos provar que a afirmação é verdadeira para k + 1. Temos que a(k+1) = 7a(k), pela definição da sequência. Substituindo a hipótese da indução, temos: a(k+1) = 7a(k) = 7(3 · 7k−1) = 3 · 7k Portanto, a afirmação é verdadeira para k + 1. Conclusão: Por indução matemática, temos que an = 3 · 7n−1 para todos os inteiros n ≥ 1.