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Profa. Maria Laura MATERIAL COMPLEMENTAR Estatística 1. Em um restaurante foi selecionada uma amostra de 15 indivíduos para avaliar o consumo de carne (g) em um almoço. Os dados obtidos foram: Calcule a média, a mediana e a moda de consumo de carne. Medidas de posição (média – moda – mediana) Fonte: autoria própria 120 100 90 85 100 250 50 0 80 125 110 110 115 70 100 Dados não agrupados Média: Resposta: O consumo médio de carne em um almoço é de 100,33 g. Mediana: 1º passo: construir o rol: 0; 50; 70; 80; 85; 90; 100; 100; 100; 110; 110; 115; 120; 125; 250 2º passo: se n é ímpar (n=15) Resposta: O consumo mediano de carne em um almoço é de 100 g. Moda: Mo = 100 Resposta: O consumo modal de carne em um almoço é de 100 g. Solução 2. Foi feita uma pesquisa em uma fábrica das diárias pagas aos operários. Determine o valor da média, da mediana e da moda das diárias pagas aos operários. Medidas de posição (média – moda – mediana) Diária (R$) xi Nº de operários fi 200 5 250 7 300 4 350 2 Total 18 Fonte: autoria própria Para dados agrupados sem intervalo de classe Média: Resposta: A diária média paga aos operários é de R$ 258,33. Moda: Resposta: A diária modal paga aos operários é de R$ 250,00. Solução Fonte: autoria própria Diária (R$) xi Nº de operários fi xi . fi 200 5 200.5 = 1000 250 7 1750 300 4 1200 350 2 700 Total 18 4650 Mediana: se n é par (n = 18) Resposta: A diária mediana paga aos operários é de R$ 250,00. Resposta Diária (R$) xi Nº de operários fi Fac 200 5 5ª 250 7 7 + 5 = 12ª 300 4 4 + 12 = 16ª 350 2 16 + 2 = 18ª Total 18 Fonte: autoria própria 3. Certa repartição pública anotou e relacionou os tempos de inspeção que faz nas empresas, chegando à seguinte distribuição de frequência abaixo. Determine a média, a mediana e a moda do tempo de inspeção nessa repartição. Medidas de posição (média – moda – mediana) Tempo de inspeção em minutos Número de inspeções realizadas 10 |--- 20 3 20 |--- 30 6 30 |--- 40 15 40 |--- 50 36 50 |--- 60 19 Total 79 Fonte: autoria própria Para dados agrupados com intervalo de classe Média: Resposta: O tempo médio de inspeção é de 42,85 minutos. Solução Tempo de inspeção em minutos Número de inspeções realizadas xi Ponto Médio xi.fi 10 |--- 20 3 15.3 = 45 20 |--- 30 6 25 150 30 |--- 40 15 35 525 40 |--- 50 36 45 1620 50 |--- 60 19 55 1045 Total 79 3385 15 2 30 2 2010 Fonte: autoria própria Mediana: 1º passo: localizar a classe mediana 2º passo: aplicar a fórmula Resposta: O tempo mediano de inspeção é de 44,31 minutos. Solução Tempo de inspeção em minutos Número de inspeções realizadas Fac 10 |--- 20 3 3ª 20 |--- 30 6 9ª 30 |--- 40 15 24ª 40 |--- 50 36 60ª 50 |--- 60 19 79ª Total 79 classe mediana Fonte: autoria própria Moda: 1º passo: localizar a classe modal 2º passo: aplicar a fórmula de Czuber Resposta: O tempo modal de inspeção é de 45,53 minutos. Solução Tempo de inspeção em minutos Número de inspeções realizadas 10 |--- 20 3 20 |--- 30 6 30 |--- 40 15 40 |--- 50 36 50 |--- 60 19 Total 79 Fonte: autoria própria classe modal INTERVALO 4. A partir dos dados do exercício anterior, calcule a variância e o desvio-padrão. Solução: (Média: ) Variância: Desvio-padrão: Medidas de dispersão absoluta (variância e desvio-padrão) Tempo de inspeção em minutos Número de inspeções realizadas xi Ponto Médio xi.fi 10 |--- 20 3 15 45 (15 – 42,85)².3 = 2.326,55 20 |--- 30 6 25 150 1.911,33 30 |--- 40 15 35 525 923,89 40 |--- 50 36 45 1620 166,70 50 |--- 60 19 55 1045 2.805,70 Total 79 3385 8.134,18 Fonte: autoria própria Logo, a variância é 104,28 min² e o desvio-padrão é 10,21min. 5. A tabela abaixo resume a descrição estatística de três empresas no que diz respeito à taxa de crescimento anual. Baseando-se nesses dados, qual empresa apresenta o crescimento mais homogêneo? Medidas de dispersão relativa (coeficiente de variação) EMPRESA A B C Crescimento anual médio 2,2% 2,3% 1,8% Desvio-padrão do crescimento médio 0,5% 0,6% 0,4% Fonte: autoria própria Para esta questão, você precisa analisar a empresa com crescimento mais homogêneo, o que significa identificar a empresa com menor dispersão entre uma medida de posição (crescimento anual médio) e a medida de dispersão (desvio-padrão do crescimento médio), então, obter o coeficiente de variação. Portanto, a empresa C apresenta crescimento mais homogêneo. Solução 6. Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? Solução: São eventos simples, pois nada impede que saia a ficha verde ou amarela, portanto, é a soma de dois eventos simples. P(verde ou amarela) = Teoria elementar das probabilidades 7. Um projeto para ser transformado em lei deve ser aprovado pela Câmara dos Deputados e pelo Senado. A probabilidade de ser aprovado pela Câmara dos Deputados é de 40%. Caso seja aprovado na Câmara dos Deputados, a probabilidade de ser aprovado no Senado é 80%. Qual a probabilidade desse projeto ser transformado em lei? Solução: trata-se de eventos independentes, é a probabilidade de um evento ocorrer não interfere no outro evento. P(projeto transformado em lei) = Teoria elementar das probabilidades 8. Numa caixa com 8 lâmpadas, 3 são defeituosas. São retiradas duas lâmpadas sem reposição. Calcule: a) A probabilidade de ambas serem boas. b) A probabilidade de ambas serem defeituosas. Solução: trata-se de eventos dependentes, é a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já tenha ocorrido. a) A probabilidade de ambas serem boas. P(ambas boas) = b) A probabilidade de ambas serem defeituosas. P(ambas com defeito) = Teoria elementar das probabilidades 9. Em um concurso realizado para trabalhar em uma determinada empresa de exportação, 10% dos candidatos foram aprovados. Se escolhermos aleatoriamente dez candidatos desse concurso, qual a probabilidade de que exatamente dois deles tenham sido aprovados? Solução: p = 0,10 (10% aprovados) q = 1 – 0,10 = 0,90 (90% reprovados) n = 10 k = 2 Distribuição binomial 10. Uma amostra de 15 peças é extraída com reposição de um lote que contém 10% de peças defeituosas. Calcule a probabilidade de que o lote não contenha peça defeituosa. Solução: n = 15 k = 0 p = 0,10 com defeito q = 1 – 0,10 = 0,90 sem defeito Distribuição binomial 11. Uma grande loja sabe que o nº de dias entre enviar uma fatura mensal e receber o pagamento de seus clientes é aproximadamente uma distribuição normal com média de 18 dias e desvio-padrão de 4 dias. a) Encontre a probabilidade de que uma fatura não seja paga até 21 dias depois. b) Encontre a porcentagem de faturas que são pagas em menos de 12 dias. c) Em 200 faturas, quantas se esperariam que fossem pagas entre 16 e 20 dias? Distribuição normal Você precisará da tabela da curva normal para resolver esse problema. a) Encontre a probabilidade de que uma fatura não seja paga até 21 dias depois. A variável x transformada em z: P(X > 21) = P (Z > 0,75) = 0,5000 – 0,2734 = 0,2266 = 22,66% Solução 18 0 Fonte: autoria própria 21 0,75 z .00 .01 .02 .03 .04 .05 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 b) Encontre a porcentagem de faturas que são pagas em menos de 12 dias. A variável x transformada em z: P(X < 12) = P (Z < -1,50) = 0,5000 – 0,4332 = 0,0668 = 6,68% Solução 18 0 Fonte: autoria própria 12 -1,50 z .00 .01 .02 .03 .04 .05 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.42651.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 c) Em 200 faturas, quantas se esperariam que fossem pagas entre 16 e 20 dias? A variável x transformada em z: P(16 < X < 20) = P(-0,50<Z<0,50) = 0,1915+0,1915 = 0,3830=38,30% 200.0,3830 = 76,6 ou 77 faturas Solução 18 0 Fonte: autoria própria 16 -0,50 20 0,50 z .00 .01 .02 .03 .04 .05 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19. ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009. LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015. Referências ATÉ A PRÓXIMA!
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