Seja a um inteiro ímpar. Mostre que a2 − 1 é sempre divisível por 8.
Demonstração de que a2 − 1 é sempre divisível por 8 para a sendo um inteiro ímpar

Question

Seja a um inteiro ímpar. Mostre que a2 − 1 é sempre divisível por 8.
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Ed · Answer

Para mostrar que $ a^2 - 1 $ é sempre divisível por 8 quando $ a $ é um inteiro ímpar, podemos seguir os seguintes passos:

1. **Definição de um inteiro ímpar**: Um inteiro ímpar pode ser escrito na forma $ a = 2k + 1 $, onde $ k $ é um inteiro.

2. **Cálculo de $ a^2 $**:
   $$
   a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1
   $$

3. **Substituição em $ a^2 - 1 $**:
   $$
   a^2 - 1 = (4k(k + 1) + 1) - 1 = 4k(k + 1)
   $$

4. **Análise de $ 4k(k + 1) $**: Note que $ k(k + 1) $ é o produto de dois números inteiros consecutivos, o que significa que um deles é par. Portanto, $ k(k + 1) $ é sempre par.

5. **Divisibilidade por 8**: Como $ k(k + 1) $ é par, podemos escrever $ k(k + 1) = 2m $ para algum inteiro $ m $. Assim, temos:
   $$
   4k(k + 1) = 4(2m) = 8m
   $$
   Isso mostra que $ a^2 - 1 = 8m $, que é divisível por 8.

Portanto, concluímos que $ a^2 - 1 $ é sempre divisível por 8 quando $ a $ é um inteiro ímpar.

Ed · Answer

Podemos começar a demonstração utilizando a identidade algébrica (a + 1)(a - 1) = a² - 1. Como a é um número ímpar, podemos escrevê-lo como a = 2k + 1, onde k é um número inteiro qualquer. Substituindo a na identidade algébrica, temos:

(a + 1)(a - 1) = (2k + 1 + 1)(2k + 1 - 1) = (2k + 2)(2k) = 4k(k + 1)

Note que o produto (a + 1)(a - 1) é divisível por 8, pois temos dois fatores pares consecutivos. Como a² - 1 = (a + 1)(a - 1), concluímos que a² - 1 é divisível por 8 para todo número ímpar a.

Matemática

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