Considere os caminhos no plano iniciados no ponto (0, 0) com deslocamentos paralelos aos eixos coordenados, sempre de uma unidade e no sentido posi...

(a) O número de caminhos que terminam no ponto (m,n) é Cm+n, onde Cm+n é o coeficiente binomial que representa o número de maneiras de escolher m objetos de um conjunto com m+n objetos. Isso ocorre porque, para chegar ao ponto (m,n), é necessário fazer m movimentos na direção x e n movimentos na direção y, em qualquer ordem. Como existem m+n movimentos no total, o número de caminhos possíveis é dado por Cm+n. (b) Para encontrar o número de caminhos que terminam no ponto (8,7), passam por (2,3) e não passam por (5,4), podemos dividir o problema em três partes: 1. Encontrar o número de caminhos que vão de (0,0) a (2,3): Isso pode ser feito usando a resposta do item (a), substituindo m=2 e n=3 em Cm+n. Portanto, existem C5 caminhos possíveis. 2. Encontrar o número de caminhos que vão de (2,3) a (8,7) sem passar por (5,4): Isso pode ser feito usando a resposta do item (a), substituindo m=6 e n=4 em Cm+n. Portanto, existem C10 caminhos possíveis. 3. Multiplicar os resultados dos passos 1 e 2: Como os caminhos são independentes, o número total de caminhos que terminam em (8,7), passam por (2,3) e não passam por (5,4) é dado pelo produto dos resultados dos passos 1 e 2. Portanto, existem C5 * C10 = 2520 caminhos possíveis.