b) Resolva a equação diofantina x² + y² = 637, x, y ∈ N.
b)
637 = 7 × 13 × 7
x² + y² = 637
x² + y² ≡ 0 (mod 7)
Se x ≡ 0 (mod 7), então x² ≡ 0 (mod 7)
Se x ≡ ±1 (mod 7), então x² ≡ 1 (mod 7)
Se x ≡ ±2 (mod 7), então x² ≡ 4 (mod 7)
Logo, x² ≡ 0, 1 ou 4 (mod 7)
Se x² + y² ≡ 0 (mod 7), então x² ≡ 0 e y² ≡ 0 (mod 7)
Logo, 7|x e 7|y
Se x ≡ 0 (mod 13), então x² ≡ 0 (mod 13)
Se x ≡ ±1 (mod 13), então x² ≡ 1 (mod 13)
Se x ≡ ±2 (mod 13), então x² ≡ 4 (mod 13)
Se x ≡ ±3 (mod 13), então x² ≡ 9 (mod 13)
Se x ≡ ±4 (mod 13), então x² ≡ 3 (mod 13)
Se x ≡ ±5 (mod 13), então x² ≡ 12 (mod 13)
Se x ≡ ±6 (mod 13), então x² ≡ 10 (mod 13)
Logo, x² ≡ 0, 1, 3, 4, 9, 10 ou 12 (mod 13)
Se x² + y² ≡ 0 (mod 13), então x² ≡ 0 e y² ≡ 0 (mod 13)
Logo, 13|x e 13|y
x = 7a, y = 7b
a² + b² = 13
a = 2, b = 3
x = 14, y = 21
b)
637 = 7 × 13 × 7
x² + y² = 637
x² + y² ≡ 0 (mod 7)
Se x ≡ 0 (mod 7), então x² ≡ 0 (mod 7)
Se x ≡ ±1 (mod 7), então x² ≡ 1 (mod 7)
Se x ≡ ±2 (mod 7), então x² ≡ 4 (mod 7)
Logo, x² ≡ 0, 1 ou 4 (mod 7)
Se x² + y² ≡ 0 (mod 7), então x² ≡ 0 e y² ≡ 0 (mod 7)
Logo, 7|x e 7|y
Se x ≡ 0 (mod 13), então x² ≡ 0 (mod 13)
Se x ≡ ±1 (mod 13), então x² ≡ 1 (mod 13)
Se x ≡ ±2 (mod 13), então x² ≡ 4 (mod 13)
Se x ≡ ±3 (mod 13), então x² ≡ 9 (mod 13)
Se x ≡ ±4 (mod 13), então x² ≡ 3 (mod 13)
Se x ≡ ±5 (mod 13), então x² ≡ 12 (mod 13)
Se x ≡ ±6 (mod 13), então x² ≡ 10 (mod 13)
Logo, x² ≡ 0, 1, 3, 4, 9, 10 ou 12 (mod 13)
Se x² + y² ≡ 0 (mod 13), então x² ≡ 0 e y² ≡ 0 (mod 13)
Logo, 13|x e 13|y
x = 7a, y = 7b
a² + b² = 13
a = 2, b = 3
x = 14, y = 21
Respostas
Ed 
há 6 meses
Para resolver a equação diofantina \(x^2 + y^2 = 637\) com \(x, y \in \mathbb{N}\), você já começou bem ao fatorar 637 como \(7 \times 13 \times 7\). A análise modular que você fez é correta. Vamos resumir os passos: 1. Fatoração: \(637 = 7^2 \times 13\). 2. Análise modular: - Para \(x^2 + y^2 \equiv 0 \mod 7\), você concluiu que \(x \equiv 0 \mod 7\) e \(y \equiv 0 \mod 7\), ou seja, \(7 | x\) e \(7 | y\). - Para \(x^2 + y^2 \equiv 0 \mod 13\), você também concluiu que \(x \equiv 0 \mod 13\) e \(y \equiv 0 \mod 13\), ou seja, \(13 | x\) e \(13 | y\). 3. Substituição: Como \(x\) e \(y\) são múltiplos de 7, podemos escrever \(x = 7a\) e \(y = 7b\). Substituindo na equação, temos: \[ (7a)^2 + (7b)^2 = 637 \implies 49(a^2 + b^2) = 637 \implies a^2 + b^2 = 13. \] 4. Solução para \(a^2 + b^2 = 13\): As combinações que satisfazem essa equação são: - \(a = 2\) e \(b = 3\) (ou vice-versa). 5. Resultados: Portanto, substituindo de volta, temos: - \(x = 7 \times 2 = 14\) - \(y = 7 \times 3 = 21\) Assim, uma solução para a equação diofantina \(x^2 + y^2 = 637\) é \(x = 14\) e \(y = 21\). Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!
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Ed
há 2 anos
A solução da equação diofantina x² + y² = 637, onde x, y ∈ N é x = 14 e y = 21.
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Seja f : R→ R uma função crescente, tal que f(x+ y) = f(x) · f(y) para quaisquer x, y ∈ R. Prove as seguintes afirmações:
(1,0) (a) f(x) > 0 para todo x ∈ R e f(1) > 1.
(1,0) (b) Pondo a = f(1), a função g : R → R definida por g(x) = loga f(x) é linear. (Use o Teorema Fundamental da Proporcionalidade.)
(0,5) (c) Para todo x ∈ R, g(x) = x, onde g é a função definida no item (b).
(0,5) (d) f(x) = ax para todo x ∈ R.
(a) Um medicamento é administrado em uma dose de 20mg e sua quantidade no organismo se reduz a 10% da inicial. Que percentagem resta 12h após a administração? Justifique sua resposta, admitindo que o decaimento da quantidade de droga no sangue é exponencial.
(b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial?
(c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, qual é a quantidade presente no organismo após 24h da primeira dose?
(a) O medicamento é administrado em uma dose de 20mg e sua quantidade no organismo se reduz a 10% da inicial.
(b) É necessário calcular em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial.
(c) É necessário calcular a quantidade presente no organismo após 24h da primeira dose de 10mg, considerando que a mesma droga foi administrada em duas doses com um intervalo de 12h.
(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(b) Levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima, use a fórmula acima para resolver o seguinte problema: Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversário ao longo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.
(a) É necessário provar a fórmula tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)), desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas.
(b) É necessário mostrar que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab, levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima.
(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(b) Levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima, use a fórmula acima para resolver o seguinte problema: Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversário ao longo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.
(a) É necessário provar a fórmula tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)), desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas.
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(1,0) Calcular a profundidade do poço em função de S, g e v.
(1,0) Calcular a profundidade do poço em função de S, g e v².
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f(x) = x para todo x
f(x) = -x para todo x
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