Prove que a função N N N  definida por f(m,n) = 2 .3 1m n  é injetiva. Prove que a função N N N  definida por f(m,n) = 2 .3 1m n  é in...

Para provar que a função f(m,n) = 2 . 3^(1m) * n é injetiva, precisamos mostrar que para quaisquer dois pares ordenados (m1, n1) e (m2, n2), se f(m1, n1) = f(m2, n2), então (m1, n1) = (m2, n2). Assumindo que f(m1, n1) = f(m2, n2), temos: 2 . 3^(1m1) * n1 = 2 . 3^(1m2) * n2 Dividindo ambos os lados por 2, temos: 3^(1m1) * n1 = 3^(1m2) * n2 Tomando o logaritmo na base 3 em ambos os lados, temos: log3(3^(1m1) * n1) = log3(3^(1m2) * n2) Aplicando as propriedades dos logaritmos, temos: log3(3^(1m1)) + log3(n1) = log3(3^(1m2)) + log3(n2) Simplificando, temos: 1m1 + log3(n1) = 1m2 + log3(n2) Subtraindo 1m1 e log3(n1) de ambos os lados, temos: 1m2 - 1m1 = log3(n1) - log3(n2) Usando a propriedade do logaritmo, temos: 1m2 - 1m1 = log3(n1/n2) Como m1, m2, n1 e n2 são números naturais, temos que 1m2 - 1m1 é um número inteiro não negativo. Além disso, log3(n1/n2) é um número real. Portanto, a única maneira de 1m2 - 1m1 = log3(n1/n2) é se n1 = n2 e m1 = m2. Assim, mostramos que se f(m1, n1) = f(m2, n2), então (m1, n1) = (m2, n2), o que prova que a função f é injetiva.