35. ITA-SP Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem e a análise de paridade dos números. Primeiro, vamos analisar a paridade dos números que podem ser formados com esses dígitos. Sabemos que um número é par se e somente se o seu último dígito é par. Portanto, os números formados com esses dígitos serão pares se terminarem em 2 ou 8, e ímpares se terminarem em 1, 5 ou 7. Agora, vamos contar quantos números ímpares de 2 a 6 algarismos distintos podem ser formados com esses dígitos. Podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem para isso. Para formar um número de 2 algarismos distintos, temos 3 opções para o primeiro dígito (2, 4 ou 5) e 2 opções para o segundo dígito (1 ou 7), totalizando 3 x 2 = 6 números. Para formar um número de 3 algarismos distintos, temos 3 opções para o primeiro dígito, 4 opções para o segundo dígito (todos os dígitos, exceto o que foi escolhido para o primeiro dígito) e 2 opções para o terceiro dígito (1 ou 7), totalizando 3 x 4 x 2 = 24 números. Para formar um número de 4 algarismos distintos, temos 3 opções para o primeiro dígito, 4 opções para o segundo dígito, 3 opções para o terceiro dígito (todos os dígitos, exceto os dois que foram escolhidos para os primeiros dígitos) e 2 opções para o quarto dígito (1 ou 7), totalizando 3 x 4 x 3 x 2 = 72 números. Para formar um número de 5 algarismos distintos, temos 3 opções para o primeiro dígito, 4 opções para o segundo dígito, 3 opções para o terceiro dígito, 2 opções para o quarto dígito (1 ou 7) e 1 opção para o quinto dígito (o único dígito que não foi escolhido), totalizando 3 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 números. Finalmente, para formar um número de 6 algarismos distintos, temos 3 opções para o primeiro dígito, 4 opções para o segundo dígito, 3 opções para o terceiro dígito, 2 opções para o quarto dígito, 2 opções para o quinto dígito (1 ou 7) e 1 opção para o sexto dígito (o único dígito que não foi escolhido), totalizando 3 x 4 x 3 x 2 x 2 x 1 = 144 números. Agora, vamos contar quantos desses números ímpares começam com um dígito par. Para isso, basta observar que metade dos números ímpares começam com 1 e a outra metade começa com 5 ou 7. Portanto, a resposta é 1/2 x (6 + 24 + 72 + 72 + 144) = 159. Portanto, a alternativa correta é a letra d) 585.