35. ITA-SP Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se ape- nas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem. Primeiro, vamos contar quantos números de 2 a 6 algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1, 2, 4, 5, 7 e 8. - Para 2 algarismos distintos, temos 5 opções para o primeiro algarismo e 4 opções para o segundo algarismo, totalizando 5 x 4 = 20 números. - Para 3 algarismos distintos, temos 5 opções para o primeiro algarismo, 4 opções para o segundo algarismo e 3 opções para o terceiro algarismo, totalizando 5 x 4 x 3 = 60 números. - Para 4 algarismos distintos, temos 5 opções para o primeiro algarismo, 4 opções para o segundo algarismo, 3 opções para o terceiro algarismo e 2 opções para o quarto algarismo, totalizando 5 x 4 x 3 x 2 = 120 números. - Para 5 algarismos distintos, temos 5 opções para o primeiro algarismo, 4 opções para o segundo algarismo, 3 opções para o terceiro algarismo, 2 opções para o quarto algarismo e 1 opção para o quinto algarismo, totalizando 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 números. - Para 6 algarismos distintos, temos 5 opções para o primeiro algarismo, 4 opções para o segundo algarismo, 3 opções para o terceiro algarismo, 2 opções para o quarto algarismo, 1 opção para o quinto algarismo e 1 opção para o sexto algarismo, totalizando 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 números. Assim, temos um total de 20 + 60 + 120 + 120 + 120 = 440 números. Agora, vamos contar quantos desses números são ímpares e começam com um dígito par. - Para 2 algarismos distintos, não há números ímpares que começam com um dígito par. - Para 3 algarismos distintos, temos 2 opções para o primeiro algarismo (2 e 4), 4 opções para o segundo algarismo (os dígitos restantes) e 3 opções para o terceiro algarismo (os dígitos restantes, exceto o 2), totalizando 2 x 4 x 3 = 24 números. - Para 4 algarismos distintos, temos 2 opções para o primeiro algarismo, 4 opções para o segundo algarismo, 3 opções para o terceiro algarismo e 2 opções para o quarto algarismo (os dígitos restantes, exceto o 2), totalizando 2 x 4 x 3 x 2 = 48 números. - Para 5 algarismos distintos, temos 2 opções para o primeiro algarismo, 4 opções para o segundo algarismo, 3 opções para o terceiro algarismo, 2 opções para o quarto algarismo e 3 opções para o quinto algarismo (os dígitos restantes), totalizando 2 x 4 x 3 x 2 x 3 = 144 números. - Para 6 algarismos distintos, temos 2 opções para o primeiro algarismo, 4 opções para o segundo algarismo, 3 opções para o terceiro algarismo, 2 opções para o quarto algarismo, 3 opções para o quinto algarismo e 2 opções para o sexto algarismo (os dígitos restantes, exceto o 2), totalizando 2 x 4 x 3 x 2 x 3 x 2 = 288 números. Assim, temos um total de 24 + 48 + 144 + 288 = 504 números ímpares que começam com um dígito par. Portanto, a alternativa correta é a letra D) 585.