ITA-SP Considere os números de 2 a 6 algarismosdistintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8.Quantos destes números são ímpares e começam

\[1,2,4,5,7,8\]

Para os números de 2 dígitos, temos, para o primeiro dígito 3 possibilidades (2,4,8) e para o último 3 possibilidades (1,5,7):

\[n_2=3\cdot3=9\]

Para os números de \(k\) (3 a 6) dígitos, temos, para o primeiro dígito 3 possibilidades (2,4,8) e para o último 3 possibilidades (1,5,7) e para cada um dos da parte central uma quantidade distinta variando negativamente de 1, partindo dos 4 dígitos restantes:

\[n_k=3\cdot\dfrac{4!}{(6-k)!}\cdot3=\dfrac{9\cdot4!}{(6-k)!}\]

Somando todos, temos:

\[\eqalign{N&=n_2+n_3+n_4+n_5+n_6\cr&=9\cdot4!\left(\dfrac1{4!}+\dfrac1{3!}+\dfrac1{2!}+\dfrac1{1!}+\dfrac1{0!}\right)\cr&=\dfrac{9\cdot4!}{4!}\left(1+4+12+24+24\right)\cr&=9(5+36+24)\cr&=9(5+60)\cr&=9\cdot65}\]

Finalmente:

\[\boxed{N=585}\]

O que nos leva à alternativa D.