37. U. Católica de Salvador-BA O polinômio P(x) = ax2 + bx + c é tal que: • é divisível por x; • tem –1 como raiz; • deixa resto 2 na divisão p...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x-a) é igual a P(a). Sabemos que o polinômio P(x) é divisível por x, então podemos escrevê-lo na forma P(x) = x.Q(x), onde Q(x) é um polinômio qualquer. Também sabemos que -1 é raiz de P(x), então P(-1) = 0. Substituindo na expressão de P(x), temos: P(-1) = (-1).Q(-1) = 0 Q(-1) = 0 Além disso, sabemos que o resto da divisão de P(x) por x-1 é 2. Aplicando o Teorema do Resto, temos: P(1) = 2 1.a + b + c = 2 Agora, precisamos encontrar o quociente da divisão de P(x) por x+1. Podemos fazer a divisão utilizando o método da divisão sintética: -1 | a b c | -a a-b |_________ a b-a c-a Assim, o quociente da divisão é Q(x) = a(x+1) + (b-a), ou seja, Q(x) = ax + (b-a). Substituindo as condições que temos, temos o seguinte sistema: Q(-1) = 0 a - (b-a) = 0 Resolvendo o sistema, encontramos a = b/2. Substituindo na equação que encontramos para Q(x), temos: Q(x) = (b/2)x + (b/2 - a) Substituindo a = b/2 na equação que encontramos para P(x), temos: P(x) = x(b/2)x + (b/2)x + c Agora, podemos substituir x = -1 na equação de P(x) para encontrar o valor de b: P(-1) = (-1)(b/2) - (b/2) + c = 0 c = b Substituindo c = b na equação de P(x), temos: P(x) = (b/2)x^2 + (b/2)x + b Finalmente, podemos substituir a = b/2 na equação que encontramos para Q(x): Q(x) = (b/2)x + (b/2 - b/2) = (b/2)x Portanto, o quociente da divisão de P(x) por x+1 é Q(x) = (b/2)x, que corresponde à alternativa (B).