Exercício 36.1. 1. Seja A = ( 1 1 −1 3 ) e defina T : R2 → R 2 por T (v) = Av. Mostre que v1 = (1,1) é autovetor de T e que o ope- rador linear T...

Para mostrar que v1 = (1,1) é autovetor de T, precisamos calcular T(v1) e verificar se é um múltiplo escalar de v1. Temos: T(v1) = A * v1 = ( 1 1 −1 3 ) * ( 1 1 ) = ( 2 2 ) = 2 * (1,1) = 2v1 Portanto, v1 é autovetor de T com autovalor λ = 2. Para mostrar que T não é diagonalizável, podemos observar que T tem apenas um autovalor, λ = 2, mas não tem um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Como v1 é um autovetor, podemos tentar encontrar outro autovetor linearmente independente de v1. Seja v2 = (a,b) um autovetor de T com autovalor λ = 2. Então, temos: T(v2) = A * v2 = 2v2 Isso nos dá o sistema de equações: a - b = 2a -b + 3b = 2b Simplificando, temos: -b = 0 a - b = 2a Portanto, b = 0 e a = 0 ou a = 2b. Se a = 0, então v2 = (0,0) e não é um autovetor linearmente independente de v1. Se a = 2b, então v2 = (2b,b) e é um múltiplo escalar de v1. Portanto, v1 e v2 não são linearmente independentes e T não é diagonalizável. Para a questão 2, podemos encontrar os autovalores e autovetores de T. Temos: T(x,y,z) = (z,y,x) Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica det(T - λI) = 0. Temos: det( ( -z & y & x \\ 0 & -λ & y \\ 0 & 0 & -λ ) ) = -z(λ^2) = 0 Portanto, os autovalores são λ = 0 e λ = 0. Para encontrar os autovetores correspondentes, precisamos resolver o sistema de equações (T - λI)v = 0 para cada autovalor. Para λ = 0, temos: ( 0 & y & x \\ 0 & 0 & y \\ 0 & 0 & 0 ) * ( x \\ y \\ z ) = ( 0 \\ 0 \\ 0 ) Isso nos dá as equações y = 0 e x = 0. Portanto, o autovetor correspondente a λ = 0 é v1 = (0,0,z). Para λ = 0, temos: ( -z & y & x \\ 0 & -λ & y \\ 0 & 0 & -λ ) * ( x \\ y \\ z ) = ( 0 \\ 0 \\ 0 ) Isso nos dá as equações -zx + yz = 0 e -yx - λy = 0. Simplificando, temos x = y e λ = -1. Portanto, o autovetor correspondente a λ = -1 é v2 = (1,-1,1). Como v1 e v2 são linearmente independentes, eles formam uma base de autovetores de R^3. Podemos representar T na base {v1,v2} como uma matriz diagonal D = diag(0,-1,0). Para a questão 3, podemos seguir o mesmo procedimento para encontrar os autovalores e autovetores de T. Temos: T(x,y,z,t) = (3x-4z,3y+5z,-z,-t) Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica det(T - λI) = 0. Temos: det( ( 3x-4z-λ & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 3y+5z-λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -z-λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -t-λ ) ) = (3x-4z-λ)(3y+5z-λ)(z+λ)(t+λ) = 0 Portanto, os autovalores são λ = -t, λ = -z, λ = 4z-3x e λ = -5z-3y. Para encontrar os autovetores correspondentes, precisamos resolver o sistema de equações (T - λI)v = 0 para cada autovalor. Para λ = -t, temos: ( 3x-4z+t & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 3y+5z+t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -z-t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -t-t ) * ( x \\ y \\ z \\ t ) = ( 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 ) Isso nos dá as equações (3x-4z+t)x - 4z(t+z) = 0, (3y+5z+t)y = 0, (-z-t)z = 0 e (-t-t)t = 0. Simplificando, temos: (3x-4z+t)x = 4z(t+z) 3y+5z+t = 0 z+t = 0 t = 0 Portanto, temos as equações 3x = 4z, 3y = -5z e z = 0. Isso nos dá o autovetor v1 = (4,-3,0,0) correspondente a λ = 0. Para λ = -z, temos: ( 3x-4z+z & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 3y+5z+z & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -z-z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -t-z ) * ( x \\ y \\ z \\ t ) = ( 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 ) Isso nos dá as equações (3x-3z)x - 4z^2 = 0, (3y+6z)y = 0, (-2z)z = 0 e (-t-z)(t+z) = 0. Simplificando, temos: (3x-3z)x = 4z^2 3y+6z = 0 z = 0 ou z = 0 t = -z Se z = 0, então temos as equações 3x = 3z e 3y = 0, o que nos dá o autovetor v2 = (1,0,0,-1) correspondente a λ = 0. Se z ≠ 0, então temos as equações 3x = 7z e 3y = -6z, o que nos dá o autovetor v3 = (7,-6,1,-1) correspondente a λ = -z. Para λ = 4z-3x, temos: ( 3x-4z-4z+3x & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 3y+5z-4z+3x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -z-4z+3x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -t-4z+3x ) * ( x \\ y \\ z \\ t ) = ( 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 ) Isso nos dá as equações -8z(x-z) = 0, (3y+4x+z)(y+5z-x) = 0, (x-5z)z = 0 e (x-5z)(t+z) = 0. Simplificando, temos: x = z ou x = 5z 3y+4x+z = 0 ou y+5z-x = 0 z = 0 ou z = 0 t = -z ou t = -5z Se z = 0, então temos as equações 3x = 4z e 3y = -5z, o que nos dá o autovetor v4 = (4,-5,0,0) correspondente a λ = 16. Se z ≠ 0, então temos as equações 3x = 20z e 3y = -19z, o que nos dá o autovetor v5 = (20,-19,1,-5) correspondente a λ = 16. Para λ = -5z-3y, temos: ( 3x-4z & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 3y+5z & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -z-5z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -t-5z-3y ) * ( x \\ y \\ z \\ t ) = ( 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 ) Isso nos dá as equações (3x-4z)x = 4z(5z+3y), (3y+5z)y = 0, (-6z)z = 0 e (-t-5z-3y)t = 0. Simplificando, temos: (3x-4z)x = 4z(5z+3y) 3y+5z = 0 z = 0 ou z = 0 t = -5z-3y ou t = 0 Se z = 0, então temos as equações 3x = 0 e 3y = 0, o que nos dá o autovetor v6 = (0,0,1,-1) correspondente a λ = 0. Se z ≠ 0, então temos as equações 3x = 20z e y = -5z, o que nos dá o autovetor v7 = (20,-5,1,-4) correspondente a λ = -35. Como podemos ver, existem 4 autovalores distintos, mas apenas 3 autovetores linearmente independentes. Portanto, T não é diagonalizável. Para a questão 4, podemos usar o fato de que o determinante de um operador linear é igual ao produto de seus autovalores. Se 0 é um autovalor de T, então det(T) = 0 e T não é inversível. Por outro lado, se T não é inversível, então seu núcleo não é trivial e existe um vetor não nulo v tal que T(v) = 0. Isso significa que v é um autovetor de T com autovalor λ = 0. Portanto, 0 é um autovalor de T se e somente se T não é inversível.