4. UECE Resolva a equação tg2x + sen2x = 3cos2x no intervalo [0, 2π]. A soma de todas as suas raízes nesse intervalo é igual a: a) 4π b) 3π c) 2π d...

Vamos lá! Primeiro, vamos simplificar a equação tg²x + sen²x = 3cos²x. Utilizando a identidade trigonométrica fundamental 1 + tg²x = sec²x, podemos reescrever a equação como: sec²x - 1 + sen²x = 3cos²x Substituindo sen²x por 1 - cos²x, temos: sec²x - cos²x = 3cos²x sec²x = 4cos²x secx = ±2cosx Agora, vamos encontrar as soluções no intervalo [0, 2π]. Para isso, vamos analisar os sinais de secx e cosx em cada quadrante: 1º quadrante: secx e cosx são positivos 2º quadrante: secx é negativo e cosx é positivo 3º quadrante: secx e cosx são negativos 4º quadrante: secx é positivo e cosx é negativo Assim, temos as seguintes soluções: 1º quadrante: x = arccos(1/2) = π/3 2º quadrante: x = π - arccos(1/2) = 2π/3 3º quadrante: x = π + arccos(1/2) = 4π/3 4º quadrante: x = 2π - arccos(1/2) = 5π/3 A soma de todas as raízes no intervalo [0, 2π] é: π/3 + 2π/3 + 4π/3 + 5π/3 = 4π Portanto, a alternativa correta é a letra a) 4π.