33. Fatec-SP Sabe-se que o polinômio P(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1 é divisível pelo polinômio Q(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1. Sobre as raízes d...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Resto e a identidade de Newton. Sabemos que P(x) é divisível por Q(x), então podemos escrever: P(x) = Q(x) * G(x) Onde G(x) é um polinômio de grau 2. Podemos utilizar a identidade de Newton para encontrar as raízes de Q(x): Q(x) = (x+1)^3 Portanto, as raízes de Q(x) são: -1, -1 e -1. Agora, podemos utilizar o Teorema do Resto para encontrar as raízes de P(x). Dividindo P(x) por Q(x), temos: P(x) = Q(x) * G(x) + R(x) Onde R(x) é o resto da divisão. Como P(x) é divisível por Q(x), o resto é zero: R(x) = 0 Podemos então utilizar o Teorema do Resto novamente para encontrar as raízes de G(x). Dividindo G(x) por (x+1), temos: G(x) = (x+1) * H(x) Onde H(x) é um polinômio de grau 1. Substituindo G(x) na equação P(x) = Q(x) * G(x), temos: P(x) = Q(x) * (x+1) * H(x) Podemos então encontrar as raízes de H(x) utilizando o Teorema do Resto. Dividindo H(x) por (x+1), temos: H(x) = a Onde a é uma constante. Portanto, G(x) = (x+1) * a e P(x) = Q(x) * G(x) = Q(x) * (x+1) * a. As raízes de P(x) são então -1 (de multiplicidade 3) e as raízes de Q(x) não são raízes de P(x). Portanto, a alternativa correta é a letra c) três são iguais a – 1 e as duas outras são reais e distintas.