33. Fatec-SP Sabe-se que o polinômio P(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1 é divisível pelo polinômio Q(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1. Sobre as raízes d...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de D'Alembert, que diz que se um polinômio P(x) é divisível por um polinômio Q(x), então as raízes de Q(x) também são raízes de P(x). O polinômio Q(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 tem raízes iguais a -1, que é uma raiz simples, e -1 ± i, que são raízes complexas conjugadas. Como P(x) é divisível por Q(x), todas as raízes de Q(x) também são raízes de P(x). Portanto, P(x) tem as raízes -1, -1 + i e -1 - i. Como P(x) é um polinômio de grau 5, ainda faltam duas raízes. Podemos encontrar essas raízes dividindo P(x) por Q(x) utilizando a divisão polinomial. Fazendo a divisão polinomial, obtemos: x² + 2x + 1 Portanto, as outras duas raízes de P(x) são raízes do polinômio x² + 2x + 1, que é igual a (x + 1)². Assim, as raízes de P(x) são -1 (com multiplicidade 3) e -1 ± i (com multiplicidade 1 cada). Portanto, a alternativa correta é a letra c) três são iguais a – 1 e as duas outras são reais e distintas.