Seja T : R2 →R3 a transformação linear dada por T (x,y) = (x+ y,x− y,x−2y). Queremos encontrar os vetores w = (a,b,c) ∈ R3 para os quais existe v...

Seja T : R2 →R3 a transformação linear dada por T (x,y) = (x+ y,x− y,x−2y). Queremos encontrar os vetores w = (a,b,c) ∈ R3 para os quais existe v = (x,y) ∈ R2 tal que T (v) = w, isto é, queremos que a equação T (x,y) = (x+ y,x− y,x−2y) = (a,b,c) tenha solução. Isso equivale a analisar as condições para que o sistema ⎧⎨⎩x+ y= ax− y= bx−2y= c admita solução. Escalonando, obtemos o seguinte sistema equivalente: ⎧⎨⎩x− y+ z+ t = cy+ t = b+ c−a−z−2t = (3a−2b−4c)/2, que é compatı́vel para quaisquer valores de a,b e c. Logo, todo vetor (a,b,c) ∈ R3 pertence à imagem de T , ou seja, Im(T ) = R3.