4. Considere a transformação linear T : R3 → R3, dada por T (x, y, z) = (x + y + z, x− y, 2y + z). (a) [1,5 ponto] Determine kerT . (b) [0,5 p...

(a) Para encontrar o núcleo (ker) de T, precisamos encontrar o vetor (x, y, z) tal que T(x, y, z) = (0, 0, 0). Assim, temos: x + y + z = 0 x - y = 0 2y + z = 0 A segunda equação nos dá y = x, e a terceira equação nos dá z = -2y. Substituindo esses valores na primeira equação, temos: x + x - 2x = 0 x = 0 Portanto, o núcleo de T é o conjunto de vetores da forma (0, y, -2y), onde y é um número real. (b) Para encontrar a dimensão da imagem de T, podemos encontrar uma base para a imagem e contar quantos vetores há nessa base. Observe que o primeiro componente de T(x, y, z) é a soma dos três componentes de entrada, então a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (1, -1, 2). Para ver isso, observe que qualquer vetor (a, b, c) na imagem pode ser escrito como: (a, b, c) = (a - b, 2b + c, a + b + c) + (b, 0, 0) O primeiro vetor na soma acima é um múltiplo de (1, -1, 2), e o segundo vetor é um múltiplo de (0, 1, 0). Portanto, a dimensão da imagem de T é 2.