Questão resolvida - Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão_ S(x,y,z) R_ x y -5z 0 - Álgebra Linear

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Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão: 
S = x, y, z ∈ R : x + y - 5z = 0( ) 3
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos isolar o na lei de formação do espaço ;x S
 
 x + y - 5z = 0 x = -y - 5z→
 
Com isso, um vetor no espaço vetorial pode ser dado por;S
 
x, y, z = -y - 5z, y, z( ) ( )
 
Usando propriedades vetoriais, podemos reescrever o resultado de 1 como;
 
-y - 5z, y, z = -y, y, 0 + -5z, 0, z( ) ( ) ( )
 
Colocando e em evidência no resultado do segundo membro de 2, temos que;y z
 
-y, y, 0 + -5z, 0, z = y -1, 1, 0 + z -5, 0, 1( ) ( ) ( ) ( )
 
Veja que no segundo membro formamos 2 vetores:
 
-1, 1, 0 e -5, 0, 1( ) ( )
 
Esses vetores são linearmente independentes (L.I.), já que não há escalar que faça um 𝜆
dos vetores ser escrito como combinação linear do outro;
 
𝜆 -1, 1, 0 = -5, 0, 1 -1𝜆, 1𝜆, 0𝜆 = -5, 0, 1( ) ( ) → ( ) ( )
 
 
(1)
(2)
Então, temos o seguinte sistema;
 
-1𝜆 = -5
1𝜆 = 1
0𝜆 = 1
Resolvendo o sistema;
 
-1𝜆 = -5 𝜆 = 𝜆 = 5→
-5
-1
→
 
1𝜆 = 1 𝜆 = 𝜆 = 1→
1
1
→
 
Veja que os encontrados em e são diferentes e, assim, comprovamos que o conjunto 𝜆 3 4
formado pelos 2 vetores é L.I., com isso, esses vetores podem formar uma base para o 
espaço vetorial ;S
 
B = -1, 1, 0 , -5, 0, 1 de dimensão 2S {( ) ( )}
 
 
(3)
(4)
(Resposta)