Exercı́cio 30.1. 1. Dada a matriz A= ( 5 0 2 1 ), determine seus autovalores e uma base para o autoespaço associado a cada autovalor. 2. Dada ...

1. Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação det(A-λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Temos: det(A-λI) = det( (5-λ) 0 2 (1-λ) ) = (5-λ)(1-λ) - 0*2 = λ² - 6λ + 5 Igualando a equação a zero, temos: λ² - 6λ + 5 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos os autovalores λ1 = 5 e λ2 = 1. Para encontrar a base do autoespaço associado a cada autovalor, precisamos resolver o sistema homogêneo (A-λI)x = 0, onde x é o vetor de autovetores. Para λ1 = 5, temos: (A-λ1I)x = 0 ( 0 0 2 -4 )x = 0 A segunda linha já nos dá a informação de que x2 = 2x1. Podemos escolher x1 = 1 e, portanto, x2 = 2. Assim, a base do autoespaço associado a λ1 é {(1,2)}. Para λ2 = 1, temos: (A-λ2I)x = 0 ( 4 0 2 0 )x = 0 A primeira linha nos dá a informação de que x1 = 0. Podemos escolher x2 = 1. Assim, a base do autoespaço associado a λ2 é {(0,1)}. 2. Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação det(A-λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Temos: det(A-λI) = det( (1-λ) 0 0 -3 (1-λ) 0 4 -7 (1-λ) ) = (1-λ)[(1-λ)(1-λ) - 0*0] - 0[(-3)(1-λ) - 0*0] + 0[(-7)(1-λ) - 0*(-3)] = (1-λ)³ Igualando a equação a zero, temos: (1-λ)³ = 0 Resolvendo a equação, encontramos o autovalor λ = 1. Para encontrar a base do autoespaço associado a λ, precisamos resolver o sistema homogêneo (A-λI)x = 0, onde x é o vetor de autovetores. Para λ = 1, temos: (A-λI)x = 0 ( 0 0 0 -3 0 0 4 -7 0 )x = 0 A segunda linha já nos dá a informação de que x2 = 0. A terceira linha nos dá a informação de que x3 = (4/7)x2. Podemos escolher x2 = 1 e, portanto, x3 = 4/7. Assim, a base do autoespaço associado a λ é {(1,0,0), (0,1,4/7)}. 3. Para calcular os autovalores de A², precisamos elevar a matriz A ao quadrado e encontrar seus autovalores. Temos: A² = ( 1 -3 -7 0 4 8 0 0 1 )( 1 -3 -7 0 4 8 0 0 1 ) = ( 1 -6 -20 0 16 32 0 0 1 ) Os autovalores de A² são os quadrados dos autovalores de A. Portanto, os autovalores de A² são λ1 = 25 e λ2 = 1. Para calcular os autovalores de A³, precisamos elevar a matriz A ao cubo e encontrar seus autovalores. Temos: A³ = ( 1 -3 -7 0 4 8 0 0 1 )( 1 -3 -7 0 4 8 0 0 1 )( 1 -3 -7 0 4 8 0 0 1 ) = ( 1 -9 -33 0 64 128 0 0 1 ) Os autovalores de A³ são os cubos dos autovalores de A. Portanto, os autovalores de A³ são λ1 = 125 e λ2 = 1. 4. Para mostrar que A e A^t têm os mesmos autovalores, precisamos mostrar que det(A-λI) = det(A^t-λI), onde I é a matriz identidade. Temos: det(A-λI) = det( (a11-λ) a12 ... a1n a21 (a22-λ) ... a2n ... ... ... ... an1 an2 ... (ann-λ) ) det(A^t-λI) = det( (a11-λ) a21 ... an1 a12 (a22-λ) ... an2 ... ... ... ... a1n a2n ... (ann-λ) ) Podemos observar que as duas matrizes são iguais, exceto pela ordem dos elementos em cada linha. Portanto, det(A-λI) = det(A^t-λI) e A e A^t têm os mesmos autovalores. 5. Para demonstrar que se λ² é um autovalor não-negativo de A², então λ ou -λ é um autovalor de A, precisamos mostrar que det(A-λI) = 0 ou det(A+λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Temos: det(A²-λ²I) = 0 Podemos fatorar a equação da seguinte forma: det[(A-λI)(A+λI)] = 0 det(A-λI)det(A+λI) = 0 Portanto, det(A-λI) = 0 ou det(A+λI) = 0. Se λ é um autovalor de A+λI, então λ+λ = 2λ é um autovalor de A. Se λ é um autovalor de A-λI, então -λ é um autovalor de A.