Exercı́cio 32.1. 1. Considere a matriz A= ( 1 1 0 1 ) . a. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz A. b...

Para a matriz A = [1 1; 0 1]: a) Os autovalores são λ1 = 1 e λ2 = 1. A base para o autoespaço correspondente a λ1 é {(1,0)} e a base para o autoespaço correspondente a λ2 é {(0,1), (1,1)}. b) A multiplicidade algébrica de λ1 e λ2 é 2. A multiplicidade geométrica de λ1 é 1 e a multiplicidade geométrica de λ2 é 1. Para a matriz A = [4 2; -2 8]: a) Os autovalores são λ1 = 6 e λ2 = 6. A base para o autoespaço correspondente a λ1 é {(1,1)} e a base para o autoespaço correspondente a λ2 é {(1,-1)}. b) A multiplicidade algébrica de λ1 e λ2 é 2. A multiplicidade geométrica de λ1 é 1 e a multiplicidade geométrica de λ2 é 1. Para a matriz A = [5 -6 -6; -1 4 2; 3 -6 -4]: a) Os autovalores são λ1 = 3, λ2 = 3 e λ3 = 3. A base para o autoespaço correspondente a λ1 é {(1,1,0), (1,0,1)} e a base para o autoespaço correspondente a λ2 é {(1,-1,1)}. A base para o autoespaço correspondente a λ3 é {(1,-2,1)}. b) A multiplicidade algébrica de λ1, λ2 e λ3 é 3. A multiplicidade geométrica de λ1 é 2, a multiplicidade geométrica de λ2 é 1 e a multiplicidade geométrica de λ3 é 1. Para a matriz A = [1 0 0; -3 1 0; 4 -7 1]: a) Os autovalores são λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = 1. A base para o autoespaço correspondente a λ1 é {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. b) A multiplicidade algébrica de λ1, λ2 e λ3 é 3. A multiplicidade geométrica de λ1 é 3, a multiplicidade geométrica de λ2 é 0 e a multiplicidade geométrica de λ3 é 0. Para provar que A e sua transposta At têm o mesmo polinômio característico, basta mostrar que det(A - λI) = det(At - λI), onde I é a matriz identidade. Como a transposta de uma matriz não altera seu determinante, temos que det(A - λI) = det(A^T - λI), o que prova que A e At têm o mesmo polinômio característico.