Calcule o volume do sólido no primeiro octante,limitado pelas superficie z = 1 - y2, x = y2+1 e x = - y2 +9

Para calcular o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelas superfícies z = 1 - y², x = y² + 1 e x = -y² + 9, podemos utilizar o método de integração por dupla. Primeiro, devemos encontrar os limites de integração para x, y e z. Para isso, podemos observar que as superfícies se encontram nos pontos em que x = y² + 1 e x = -y² + 9. Portanto, os limites de integração para x são de 1 a 9 - y². Já para y, os limites de integração são de 0 a 1, pois o sólido está limitado ao primeiro octante. E para z, os limites são de 0 a 1 - y², pois a superfície z = 1 - y² é a mais baixa. Assim, podemos escrever a integral dupla para o cálculo do volume do sólido como: V = ∫ de 0 até 1 ∫ de 1 até 9 - y² ∫ de 0 até 1 - y² dz dx dy Resolvendo as integrais, temos: V = ∫ de 0 até 1 ∫ de 1 até 9 - y² (1 - y²) dx dy V = ∫ de 0 até 1 [(8 - 2y²)(1 - y²)] dy V = ∫ de 0 até 1 (8y² - 10y⁴ + 2y⁶) dy V = 8/3 - 10/5 + 2/7 V = 2.2857 unidades cúbicas Portanto, o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelas superfícies z = 1 - y², x = y² + 1 e x = -y² + 9, é de aproximadamente 2.2857 unidades cúbicas.