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Por que as equações diferenciais são importantes? Onde elas aparecem ? Quando desejamos estudar Leis físicas que descrevem a natureza, usamos model...

Por que as equações diferenciais são importantes? Onde elas aparecem ? Quando desejamos estudar Leis físicas que descrevem a natureza, usamos modelos matemáticos como aproximação. Muitos destes modelos são relações que envolvem a taxa de variação de uma determinada grandeza física. Como foi visto no curso de Cálculo, a taxa de variação é uma derivada e as relações entre elas são equações. Sendo assim, estes fenômenos físicos são descritos por equações que envolvem derivadas que chamamos de equações diferenciais. A grosso modo, o que é uma equação diferencial? Sabemos que uma equação algébrica é uma equação que tem números como incógnitas. Numa equação diferencial, a variável incógnita é uma função y(x) e x é a sua variável independente. Definição 1.1.1. Uma equação que estabelece uma relação entre a variável independente x, a função incógnita y = f (x) e suas derivadas y′, y′′, . . . y(n) se chama de equação diferencial. Pode ser escrita na forma F(x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0. Exemplo 1.1.1. 1. y′ = cos x, 2. y′′ + 4x = 0, 3. x2y′′′ + 2exy′′ = (x2 + 2)y2. A seguir, veremos alguns problemas que podem ser estudados usando as equações diferenciais. Modelo populacional Em um modelo populacional, dizemos que uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Este modelo é razoável para população de bactérias, por exemplo. Que equação matemática representa este modelo? As variáveis do problema são: • t é a variável independente e representa o tempo, • P é a incógnita e representa o número de indivíduos da população. Assim, o modelo populacional pode ser escrito da seguinte forma: • A taxa de crescimento populacional: dP dt . • Se a taxa de crescimento da população é proporcional ao tamanho da população, então dP dt = kP, onde k é a constante de proporcionalidade. Esta equação é uma equação diferencial que envolve a função incógnita P(t) e sua derivada. Note que P(t) = Cekt é uma função que satisfaz dP dt = k(Cekt) = kP. Sendo assim, esta função é uma solução da equação diferencial. Veremos estes conceitos com mais detalhes a seguir. O que significa a constante C ? Note que, quando t = 0, P(0) = C. Podemos dizer então que C é a população inicial ou “condição inicial” do problema. Lei de Hooke: um modelo para o movimento da mola Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola vertical como mostrado na figura abaixo: A Lei de Hooke diz que se a mola for esticada (ou comprimida) x unidades a partir da sua posição de repouso, então a mola exerce uma força sobre o corpo que

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Equações Diferenciais de Primeira Ordem
176 pág.

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As equações diferenciais são importantes porque permitem modelar e descrever fenômenos físicos e naturais que envolvem taxas de variação. Elas aparecem em diversas áreas da ciência, como física, engenharia, biologia, economia, entre outras. Quando desejamos estudar leis físicas que descrevem a natureza, usamos modelos matemáticos como aproximação. Muitos destes modelos são relações que envolvem a taxa de variação de uma determinada grandeza física. Como foi visto no curso de Cálculo, a taxa de variação é uma derivada e as relações entre elas são equações. Sendo assim, estes fenômenos físicos são descritos por equações que envolvem derivadas que chamamos de equações diferenciais. Uma equação diferencial é uma equação que estabelece uma relação entre a variável independente x, a função incógnita y = f(x) e suas derivadas y', y'', ..., y^(n). Ela pode ser escrita na forma F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0. As equações diferenciais são utilizadas para modelar diversos fenômenos, como o crescimento populacional, o movimento de um objeto com massa na extremidade de uma mola vertical, a propagação de ondas sonoras, a difusão de calor, entre outros. Elas são importantes porque permitem prever o comportamento futuro do sistema modelado e, assim, tomar decisões mais informadas.

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