Aula 1.1 Introdução às Equações Diferenciais e algumas aplicações Por que as equações diferenciais são importantes? Onde elas aparecem ? Quando des...

Aula 1.1 Introdução às Equações Diferenciais e algumas aplicações Por que as equações diferenciais são importantes? Onde elas aparecem ? Quando desejamos estudar Leis físicas que descrevem a natureza, usamos modelos matemáticos como aproximação. Muitos destes modelos são relações que envolvem a taxa de variação de uma determinada grandeza física. Como foi visto no curso de Cálculo, a taxa de variação é uma derivada e as relações entre elas são equações. Sendo assim, estes fenômenos físicos são descritos por equações que envolvem derivadas que chamamos de equações diferenciais. A grosso modo, o que é uma equação diferencial? Sabemos que uma equação algébrica é uma equação que tem números como incógnitas. Numa equação diferencial, a variável incógnita é uma função y(x) e x é a sua variável independente. Definição 1.1.1. Uma equação que estabelece uma relação entre a variável independente x, a função incógnita y = f (x) e suas derivadas y′, y′′, . . . y(n) se chama de equação diferencial. Pode ser escrita na forma F(x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0. Exemplo 1.1.1. 1. y′ = cos x, 2. y′′ + 4x = 0, 3. x2y′′′ + 2exy′′ = (x2 + 2)y2. A seguir, veremos alguns problemas que podem ser estudados usando as equações diferenciais. Modelo populacional Em um modelo populacional, dizemos que uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Este modelo é razoável para população de bactérias, por exemplo. Que equação matemática representa este modelo? As variáveis do problema são: • t é a variável independente e representa o tempo, • P é a incógnita e representa o número de indivíduos da população. Assim, o modelo populacional pode ser escrito da seguinte forma: • A taxa de crescimento populacional: dP dt . • Se a taxa de crescimento da população é proporcional ao tamanho da população, então dP dt = kP, onde k é a constante de proporcionalidade. Esta equação é uma equação diferencial que envolve a função incógnita P(t) e sua derivada. Note que P(t) = Cekt é uma função que satisfaz dP dt = k(Cekt) = kP. Sendo assim, esta função é uma solução da equação diferencial. Veremos estes conceitos com mais detalhes a seguir. O que significa a constante C ? Note que, quando t = 0, P(0) = C. Podemos dizer então que C é a população inicial ou “condição inicial” do problema. Lei de Hooke: um modelo para o movimento da mola Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola vertical como mostrado na figura abaixo: A Lei de Hooke diz que se a mola for esticada (ou comprimida) x unidades a partir da sua posição de repouso, então a mola exerce uma força sobre o corpo que é proporcional ao deslocamento x: força elástica = −kx, onde k é a constante positiva da mola e x = x(t). Ignorando qualquer resistência do ar ou do atrito e sabendo que F = ma, podemos formular a equação da lei de Hooke: m d2x dt2 = −kx. 1.1.1 Classificação As equações diferenciais podem ser classificadas levando-se em conta as seguintes características: 1. O número de variáveis independentes da função incógnita; 2. O número de funções incógnitas; 3. A estrutura da equação e 4. A ordem da equação. Definição 1.1.2. Quanto ao número de variáveis independentes, as equações diferenciais podem ser ordinárias ou parciais. Uma equação diferencial é ordinária (EDO) se a função incógnita for uma função de apenas uma variável. Neste caso, as derivadas que aparecem na equação diferencial são apenas derivadas ordinárias, simples. Caso contrário, as derivadas serão derivadas parciais e aí teremos uma equação diferencial parcial (EDP). Exemplo 1.1.2. 1. R dQ(t) dt + 1 C Q = V(t), (modelo de circuito RC) é uma equação diferencial ordinária. Função incógnita Q = Q(t). 2. ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0. (Equação de Laplace) é uma equação diferencial parcial. Função incógnita u = u(x, y). 3. ut + uux = 0 é uma equação diferencial parcial. Função incógnita u = u(x, t). Quanto ao número de incógnitas, teremos a seguinte classificação: Definição 1.1.3. Se o problema envolver apenas uma função incógnita, então teremos uma única equação diferencial, podendo esta ser ordinária ou parcial. Se, por outro lado, o problema