Ache o valor de b para o qual a equação diferencial (xy2+bx2y)dx+(x+y)x2dy = 0 é exata e resolva a equação com este valor de b. Solução: Note que M...

Ache o valor de b para o qual a equação diferencial (xy2+bx2y)dx+(x+y)x2dy = 0
é exata e resolva a equação com este valor de b.
Solução:
Note que
M(x, y) = xy2 + bx2y e N(x, y) = (x + y)x2.
Para a equação ser exata, precisamos ter
∂M
∂y
=
∂N
∂x
, isto é,
2xy + bx2 = 3x2 + 2xy ⇔ b = 3.
Assim, vamos encontrar a solução de (xy2 + 3x2y)dx + (x + y)x2dy = 0, isto é, encontrar uma
função F(x, y) tal que
∂F
∂x
= M(x, y) e
∂F
∂y
= N(x, y). Integrando
∂F
∂x
= xy2 + 3x2y em relação a x,
obtemos:
F(x, y) =
∫
(xy2 + 3x2 y)dx =
x2y2
2
+ x3y + k(y).
Derivando esta última expressão em relação a y e observando que
∂F
∂y
= N(x, y), temos:
∂F
∂y
= x2y + x3 + k′(y) = x3 + yx2 ⇒ k(y) = c.
Substituindo k(y) na expressão de F, a solução geral será:
x2y2
2
+ x3y = c.