Seja X ∼ exp(λ) e Y ∼ exp(µ). Supomos que X, Y são independentes. Achar (a) a densidade e distribuição acumulada de max(X,Y); (b) a densidade e ...

(a) Para encontrar a densidade de max(X,Y), podemos usar a seguinte fórmula: fmax(x) = P(max(X,Y) ≤ x) = P(X ≤ x, Y ≤ x) = P(X ≤ x)P(Y ≤ x) = (1 - e^(-λx))(1 - e^(-µx)) A distribuição acumulada de max(X,Y) é: Fmax(x) = P(max(X,Y) ≤ x) = P(X ≤ x, Y ≤ x) = P(X ≤ x)P(Y ≤ x) = (1 - e^(-λx))(1 - e^(-µx)) (b) Para encontrar a densidade de min(X,Y), podemos usar a seguinte fórmula: fmin(x) = P(min(X,Y) ≤ x) = 1 - P(min(X,Y) > x) = 1 - P(X > x, Y > x) = 1 - P(X > x)P(Y > x) = 1 - e^(-λx)e^(-µx) A distribuição acumulada de min(X,Y) é: Fmin(x) = P(min(X,Y) ≤ x) = 1 - P(min(X,Y) > x) = 1 - P(X > x, Y > x) = 1 - P(X > x)P(Y > x) = 1 - e^(-λx)e^(-µx) (c) Para encontrar a densidade de Z = max(X,Y) - min(X,Y), podemos usar a seguinte fórmula: fz(z) = ∫(0,∞)fmax(x)fmin(x+z)dx A distribuição acumulada de Z é: Fz(z) = ∫(0,z)fz(t)dt