funes_variasvariaveisII

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Plano tangente a uma superficie: G(f).
O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o 
plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que 
passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são 
co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe.
Seja uma função diferençável no ponto (x0,y0) 
RRAf  2:
Equação do plano tangente a o gráfico G(f) no ponto
(x0,y0,z0), z0=f(x0,y0)
0)0.(1)()(
00 00
 zzfyyfxx yx
),( 000 yxx
f
f x



),( 000 yxy
f
f y



Plano tangente a uma curva.
A interseção do plano e
A curva z=f(x,y) é 
justamente o ponto 
(x0,y0)
http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/anima/planotangente.html
h
rfuhrf
Df hu
)()(
lim 000

 
Derivada direcional
Definição: Seja 
RRAf n :
uma função real
de variável vetorial 
Seja r0=(x10, x20,..., xn0) ϵ A, e u um vetor unitário de R
n.
A derivada direcional de f no ponto r é
Se o limite existe. Define uma reta L
Que passa por r0 na direção u . 
ruhr  0
Derivada direcional
)
),,(
- 
),,(
(lim
000
302010
0
h
zyxf
h
huzhuyhuxf
Df hu

 
RRAf  3:
Seja , e ro=(x0,y0,z0), e u=(u1,u2,u3)
Conforme h0, r  r0
Derivada direcional
)
),(),(
(lim 0020100
h
yxfhuyhuxf
Df hu

 
RRAf  2:
Seja , e ro=(x0,y0), e u=(u1,u2)
ro
ro+ h u = r
u
Conforme h0, r  r0
Derivada direcional
Derivada direcional
u
f
fD
u



É a taxa de variação de f em relação à 
distancia no ponto r0, ao longo do vetor 
unitário u .
Particularizando para u = e1= (1,0) = i 
Particularizando para u = e1 = (0,1) = j 
01
|
)()(
lim 0100 rhe x
f
h
rfehrf
fD




 
02
|
)()(
lim 0200 rhe y
f
h
rfehrf
fD




 
Derivada parcial como taxa de variação.
A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo 
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0),
),( 00 yx
x
f


A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo 
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1),
),( 00 yx
y
f


Notemos que na definição de derivada direcional o 
vetor v deve ser unitário. A razão disto é a seguinte: se 
o vetor não fosse unitário, a derivada direcional não
dependeria somente do ponto e da direção, mas 
também do comprimento do vetor.
Exemplos
1.- Seja f(x,y)= x2+y2+1, determine a derivada direcional da
função f no ponto (x0, y0) na direção do vetor unitário
u=(u1,u2).
2.- Seja f(x,y,z)= x2 + 2 y2 – z, determine a derivada 
direcional de f no ponto (1,1,1) na direção v=(1,2,1)
3.- Determine a taxa de variação do potencial elétrico
V = k (x2+y2+z2)-1/2 no ponto (1,2,0) na direção v=(1,2,0),
K é uma constante, assuma k=1.
Gradiente de uma função real de variável 
vetorial.
Definição: Seja 
)uf( )x,..,x,(xu 
:
n21 
 RRAf n
uma função real de variável vetorial , sendo u um 
vetor arbitrário de A subconjunto de Rn
 )
f
,...,
f
,
f
()( f 
: 
n21 xxx








fgrad
RRfgrad n

Existe uma transformação linear que leva f a um vetor Rn
chamado de vetor gradiente “grad f” 
“grad”  Operador gradiente 
grad (f)  vetor gradiente
n
x
2
x
1
x
e
f
...e
f
e
f
)(
n21








fgrad
)1,....,0,0(
.
)0,...,1,0(
)0,....,0,1(
2
1



ne
e
e
Caso f: R3  R, f=f(x,y,z)
)
f
,
f
,
f
()
f
,
f
,
f
()(
yxxxx 321 z
fgrad














Operador Gradiente
À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento 
do gradiente cresce ficando igual a duas vezes a distância 
do ponto à origem.
F(x,y)= x2- y2, grad(f) = (2x, -2y)
costuma se pensar em grad (f) como um campo de
vetores no domínio de f 
Propriedades algébricas do vetor gradiente
.
g
grad(g) )( 
)(
),( )() (
, ) (
2
ffgradg
g
f
grad
ggradfgfgradgfgrad
grad(g)grad(f)gfgrad



 
α, β são constantes.
Exemplos:
1.- seja f(x,y,z)= x + yz, g(x,y,z)= x2+y2+ xy + z,
determine grad(f/g) e grad( f+g) utilizando as proprie
dades anteriores.
Propriedade importante
ufgradfD
u
 ).(
Exemplo:
Determine o vetor gradiente da função f(x,y)=x2+y2+1,
Verifique a relação anterior 
u é um vetor 
unitário
gradiente de f
Z=f(x,y)=x2+y2+1
grad(f) = (2x,2y)
Propriedade importante
1|| , ).(  uufgradfD
u
)cos(|)(| fgradfD
u

fD
u
Varia com o ângulo ϴ,sendo esta variação 
máxima quando ϴ = 00
Dado um ponto r =(x1,x2,...,xn) de R
n, sendo f=f(x1,x2,...,xn) 
Propriedades importantes
1) A taxa máxima de crescimento de f no ponto r 
ocorre na direção do gradiente.
2) O valor máximo de no ponto r é |grad(f)|
3) Se grad(f)=(0,...,0)= 0 então para todo 
u
4) Se a função é z=f(x,y), então as curvas de nível
são perpendiculares em qualquer ponto ao vetor
grad(f).
5.- Se a função é w=f(x,y,z), então a superfície de 
nível é perpendicular ao grad(f).
fD
u
0fD
u
exercícios
1) Seja a função real de variável vetorial
z=f(x,y)= 2sin(x+y)
a) Determine o gradiente de f no ponto (pi/4,pi/4)=P0.
b) Determine a derivada direcional de f(x,y) no ponto P0
na direção u=(1,2), v=(0,1), w=(1,0), respectivamente.
c) Em que direção a derivada direcional de f no ponto P0 
tem a taxa máxima de variação.
d) Qual é a taxa máxima de variação de f no ponto P0
e) Mostre que as curvas de nível são ortogonais ao vetor
gradiente de f em cada ponto do dominio.
Seja f: R3  R, w = f(x,y,z),
Consideremos a superfície de nível “S” 
c = f(x,y,z). Seja r(t) o vetor que parametrisa uma curva α
que descansa na superfície S. Logo
Vetor gradiente numa superfície de nível
0 ).( Vfgrad
Eles são perpendiculares 
),,( zyxrV  
Ele é tangente à superfície “S” 
))(),(),(()( tztytxtr 
e a velocidade V é :
Equação do plano tangente à superfície de nível S
Dado o ponto P0=(x0,y0,z0) ϵ S, e seja
),,(| 0000 zyxx
f
x
f
P





),,(| 0000 zyxy
f
y
f
P





),,(| 0000 zyxz
f
z
f
P





000
|)0(|)(|)( 00 PPP
z
f
zz
y
f
yy
x
f
xx









Equação do plano tangente à superfície S
Exemplos
Exemplo1.- Seja a superfície de nível c = f(x,y,z), onde 
f(x,y,z) =x2+y2 - z; ou dito de uma forma diferente, temos 
uma superfície definida pela equação x2+y2-z = c. Sendo 
c uma constante real. Determine a equação do plano 
tangente a dita superfície no ponto P0=(1,1,-2)
Exemplo 2.- Seja a superfície S definida pela equação 
4cos(x+y) – z = 0. a) Determine a equação do plano 
tangente à superfície S no ponto P0=( pi/4,pi/4,0).
b) Seja uma curva α parametrizada do seguinte modo 
r(t)=(t,t,g(t)), determine g(t) para que a curva descanse 
na superfície S. Determine o vetor unitário tangente
á curva para t=pi/4.