Exerćıcio 1: Calcule ∫∫ D (y2ex + y sen x) dxdy, onde D é o retângulo dado por 0 ≤ x ≤ π/2 e 0 ≤ y ≤ 1. Solução: Do teorema de Fubini, temos: ...
Exerćıcio 1: Calcule ∫∫ D (y2ex + y sen x) dxdy, onde D é o retângulo dado por 0 ≤ x ≤ π/2 e 0 ≤ y ≤ 1. Solução: Do teorema de Fubini, temos: ∫∫ D (y2ex + y sen x) dxdy = ∫ π/2 0 ∫ 1 0 (y2ex + y sen x) dydx = ∫ π/2 0 [y3/3 ex + y2/2 sen x]y=1 y=0 dx = ∫ π/2 0 (1/3 ex + 1/2 sen x) dx = [1/3 ex − 1/2 cosx]π/2 0 = (1/3 eπ/2 − 1/2 cos π/2) − (1/3 e0 − 1/2 cos 0) = 1/3 eπ/2 − 1/3 + 1/2 = 1/3 eπ/2 + 1/6.
A solução apresentada está correta. O exercício consiste em calcular a integral dupla da função dada sobre o retângulo D, utilizando o teorema de Fubini para trocar a ordem de integração. Após realizar as integrações, a resposta encontrada foi 1/3 e^(π/2) + 1/6.
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