Considere R a região do plano descrita a seguir: R = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4− x2 }. Queremos inscrever um retângulo na região R de t...

Para resolver esse problema de otimização, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Descreva a região R do plano: A região R é um conjunto de pontos (x, y) no plano cartesiano, onde 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 4 - x². 2. Indique as restrições para o retângulo a ser inscrito na região R: O retângulo deve ter dois lados paralelos aos eixos x e y e um vértice na curva que faz parte da fronteira da região R. 3. Aplique a fórmula da área do retângulo e a técnica de otimização para encontrar as dimensões do retângulo de área máxima: A área do retângulo é dada por A = xy. Podemos expressar a área em termos de uma única variável, por exemplo, y, substituindo x por 2 - y^(1/2), que é a equação da curva que faz parte da fronteira da região R. Assim, temos A = y(2 - y^(1/2)). Para encontrar a área máxima, derivamos a função A em relação a y, igualamos a zero e resolvemos para y. Encontramos que y = 2/3 é o valor que maximiza a área. 4. Apresente a solução correta para as dimensões do retângulo: Substituindo y = 2/3 na equação da curva que faz parte da fronteira da região R, encontramos que x = 2 - (2/3)^(1/2). Portanto, as dimensões do retângulo de área máxima são x = 1,317 e y = 0,667.